Номер 733, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 733, страница 176.

733. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон:

Задача состоит в построении треугольника по заданной стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон. Пусть нам даны отрезок $a$, угол $\gamma$ и отрезок $d$. Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы сторона $BC = a$, угол $\angle C = \gamma$ и разность двух других сторон $|AB - AC| = d$.

Эта задача имеет два возможных случая в зависимости от того, какая из двух "других" сторон больше: $AB$ или $AC$.

Случай 1: Сторона $AB$, противолежащая данному углу $C$, больше стороны $AC$, прилежащей к этому углу ($AB > AC$).

В этом случае заданная разность равна $d = AB - AC$, откуда $AB = AC + d$.

Анализ. Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. На луче, противоположном лучу $CA$, отложим отрезок $CD$, равный $d$. Тогда длина отрезка $AD$ будет равна $AC + CD = AC + d$. Согласно нашему условию, $AB = AC + d$. Из этого следует, что $AB = AD$. Таким образом, точка $A$ равноудалена от точек $B$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. Кроме того, точка $A$ должна лежать на луче, выходящем из вершины $C$ под углом $\gamma$ к стороне $BC$. Следовательно, искомая вершина $A$ является точкой пересечения этого луча и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Построение.

1. Строим отрезок $BC$, равный по длине данному отрезку $a$.
2. От луча $BC$ в заданной полуплоскости строим луч $CY$ так, чтобы угол $\angle BCY$ был равен данному углу $\gamma$.
3. На луче, противоположном лучу $CY$, откладываем от точки $C$ отрезок $CD$, равный по длине данному отрезку $d$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра с лучом $CY$ и будет искомой вершиной $A$.
7. Соединяем точки $A$ и $B$. Искомый треугольник $ABC$ построен.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ и угол $\angle BCA$ равен $\gamma$ по построению. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, поэтому $AB = AD$. Так как точка $A$ лежит на луче $CY$, а точка $D$ — на луче, противоположном $CY$, то длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$. По построению $CD = d$, следовательно, $AD = AC + d$. Так как $AB = AD$, получаем $AB = AC + d$, или $AB - AC = d$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование. Для того чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы построенные линии пересекались и образовывали невырожденный треугольник. Серединный перпендикуляр к $BD$ и луч $CY$ всегда пересекаются в единственной точке (поскольку они не могут быть параллельны, если $B$, $C$, $D$ не лежат на одной прямой). Однако для существования самого треугольника $ABC$ должно выполняться неравенство треугольника: $AC + BC > AB$. Подставив в него $AB = AC + d$ и $BC = a$, получим $AC + a > AC + d$, что равносильно $a > d$. Если $a \le d$, то неравенство треугольника не выполняется, и построение невозможно. Следовательно, задача для данного случая имеет единственное решение при условии, что данная сторона $a$ больше данной разности $d$.

Ответ: Построение треугольника возможно при условии $a > d$. Алгоритм построения описан выше.

Случай 2: Сторона $AC$, прилежащая к данному углу $C$, больше стороны $AB$, противолежащей этому углу ($AC > AB$).

В этом случае заданная разность равна $d = AC - AB$, откуда $AB = AC - d$.

Анализ. Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. На стороне $AC$ отложим отрезок $CD$, равный $d$. Тогда оставшаяся часть стороны, отрезок $AD$, будет иметь длину $AC - CD = AC - d$. Согласно нашему условию, $AB = AC - d$. Из этого следует, что $AB = AD$. Таким образом, точка $A$ равноудалена от точек $B$ и $D$ и лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. Как и в первом случае, точка $A$ должна лежать на луче $CY$, образующем угол $\gamma$ со стороной $BC$. Следовательно, вершина $A$ — это точка пересечения луча $CY$ и серединного перпендикуляра к $BD$.

Построение.

1. Строим отрезок $BC$, равный по длине данному отрезку $a$.
2. От луча $BC$ в заданной полуплоскости строим луч $CY$ так, чтобы угол $\angle BCY$ был равен данному углу $\gamma$.
3. На луче $CY$ откладываем от точки $C$ отрезок $CD$, равный по длине данному отрезку $d$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра с лучом $CY$ и будет искомой вершиной $A$.
7. Соединяем точки $A$ и $B$. Искомый треугольник $ABC$ построен.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ и угол $\angle BCA$ равен $\gamma$ по построению. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, поэтому $AB = AD$. Если построенная точка $A$ расположена на луче $CY$ дальше от $C$, чем точка $D$, то длина отрезка $AD$ равна $AC - CD$. По построению $CD = d$, следовательно, $AD = AC - d$. Так как $AB = AD$, получаем $AB = AC - d$, или $AC - AB = d$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование. Для существования решения необходимо, чтобы точка $A$ на луче $CY$ существовала и чтобы точка $D$ находилась между $C$ и $A$ (чтобы было выполнено $AC > d$). Неравенство треугольника $AB + BC > AC$ после подстановки $AB=AC-d$ и $BC=a$ дает $(AC - d) + a > AC$, что равносильно $a > d$. Это необходимое условие. Однако, в отличие от первого случая, этого не всегда достаточно. Геометрический анализ показывает, что для того, чтобы точка $A$ на луче $CY$ была дальше от $C$, чем точка $D$, должно выполняться дополнительное условие, связывающее все три данные величины: $d < a \cos\gamma$. Это условие также подразумевает, что угол $\gamma$ должен быть острым (так как $d>0$ и $a>0$, то $\cos\gamma$ должен быть положительным). Условие $d < a \cos\gamma$ является более сильным, чем $a > d$, поскольку $\cos\gamma \le 1$. Таким образом, задача для данного случая имеет единственное решение, если угол $\gamma$ острый и $d < a \cos\gamma$.

Ответ: Построение треугольника возможно при условии, что угол $\gamma$ острый и выполняется неравенство $d < a \cos\gamma$. Алгоритм построения описан выше.

733. Прямая, параллельная хорде $AC$ окружности, касается этой окружности в точке $B$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.