Номер 731, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 731, страница 176.

731. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и разности боковой стороны и высоты, опущенной на основание.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. $AC$ — основание, $AB=BC$ — боковые стороны. $BH$ — высота, опущенная на основание $AC$. Пусть длина основания $AC$ равна $a$, длина боковой стороны $AB$ равна $b$, и длина высоты $BH$ равна $h$. По условию задачи нам даны отрезки, равные по длине $a$ и $d = b - h$.

В равнобедренном треугольнике высота $BH$, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $AC$, и $AH = HC = a/2$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным с катетами $AH$ и $BH$ и гипотенузой $AB$.

Из условия $d = b - h$ можно выразить боковую сторону: $b = h + d$.

Этот анализ позволяет перейти к методу построения. Основа построения — нахождение вершины $B$. Вершина $B$ должна лежать на серединном перпендикуляре к основанию $AC$. Отложим на этом перпендикуляре от точки $H$ (середины $AC$) в сторону, противоположную вершине $B$, отрезок $HK$, равный по длине $d$. Тогда длина отрезка $BK$ составит $BH + HK = h + d$. Так как мы установили, что боковая сторона $b = h + d$, то получается, что $AB = BK$. Это означает, что точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $K$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему. Таким образом, вершина $B$ искомого треугольника является точкой пересечения серединного перпендикуляра к основанию $AC$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AK$.

Построение

1. Начертите произвольную прямую и отложите на ней отрезок $AC$, равный данной длине основания $a$.
2. Постройте серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$. Обозначьте точку их пересечения через $H$.
3. На прямой $m$ отложите от точки $H$ в полуплоскость, противоположную той, где будет располагаться вершина $B$, отрезок $HK$, равный по длине данной разности $d$.
4. Соедините точки $A$ и $K$ отрезком.
5. Постройте серединный перпендикуляр $n$ к отрезку $AK$.
6. Точка пересечения прямой $m$ и серединного перпендикуляра $n$ является искомой вершиной $B$.
7. Соедините вершину $B$ с точками $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи. По построению, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AC$. Следовательно, $AB = BC$, и треугольник $ABC$ является равнобедренным. Длина его основания $AC$ по построению равна $a$. Отрезок $BH$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на основание. Обозначим ее длину как $h$. По построению, точка $B$ также лежит на серединном перпендикуляре $n$ к отрезку $AK$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, поэтому $AB = BK$. Точки $B$, $H$ и $K$ лежат на одной прямой $m$, причем точка $H$ расположена между точками $B$ и $K$. Следовательно, длина отрезка $BK$ равна сумме длин отрезков $BH$ и $HK$: $BK = BH + HK$. Подставляя известные длины, получаем $BK = h + d$. Так как $AB = BK$, то для боковой стороны $AB$ (обозначим ее длину $b$) выполняется равенство $b = h + d$. Отсюда следует, что разность длины боковой стороны и высоты, опущенной на основание, равна $b - h = d$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным, имеет основание длины $a$ и разность боковой стороны и высоты, опущенной на основание, равную $d$. Что и требовалось доказать.

Исследование

Построение всегда возможно, так как прямые $m$ и $n$ не параллельны (поскольку точка $A$ не лежит на прямой $m$, отрезок $AK$ не перпендикулярен прямой $m$) и, следовательно, всегда пересекаются в единственной точке $B$. Задача имеет единственное решение для любых заданных отрезков $a > 0$ и $d > 0$. Однако, если $d = a/2$, то высота $h$ будет равна нулю ($h = \frac{(a/2)^2 - d^2}{2d} = 0$), и треугольник вырождается в отрезок $AC$, где точка $B$ совпадает с $H$. Для существования невырожденного треугольника необходимо условие $d \neq a/2$.

Ответ: Треугольник, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым.

731. Докажите, что центр окружности равноудалён от любой касательной к окружности.