Номер 720, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 720, страница 176.

720. Между двумя параллельными прямыми дана точка. Постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.

Сколько решений имеет задача?

Постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, и точка $M$, расположенная между ними. Решение задачи сводится к нахождению центра и радиуса искомой окружности.

Анализ и нахождение ключевых элементов:

• Радиус окружности: Если окружность касается двух параллельных прямых, то ее диаметр равен расстоянию $d$ между этими прямыми. Следовательно, радиус $R$ искомой окружности равен $R = d/2$.
• Геометрическое место центров (ГМТ 1): Центр любой окружности, касающейся двух параллельных прямых, равноудален от них. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, — это прямая $c$, которая параллельна данным прямым и проходит ровно посередине между ними.
• Геометрическое место центров (ГМТ 2): Искомая окружность должна проходить через данную точку $M$. Это значит, что ее центр $O$ должен находиться на расстоянии $R$ от точки $M$. Геометрическое место точек, удаленных от точки $M$ на расстояние $R$, — это окружность с центром в точке $M$ и радиусом $R$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ должен лежать на пересечении двух геометрических мест: прямой $c$ и окружности с центром в $M$ и радиусом $R$.

Алгоритм построения:

1. Из произвольной точки $A$ на прямой $a$ опускаем перпендикуляр $AB$ на прямую $b$. Длина отрезка $AB$ равна расстоянию $d$ между прямыми.
2. Находим середину $K$ отрезка $AB$. Длина отрезка $AK$ равна искомому радиусу $R = d/2$.
3. Через точку $K$ проводим прямую $c$, параллельную прямым $a$ и $b$. На этой прямой лежат центры всех окружностей, касающихся $a$ и $b$.
4. Строим окружность с центром в данной точке $M$ и радиусом $R=AK$.
5. Находим точки пересечения прямой $c$ и окружности, построенной на шаге 4. Обозначим их $O_1$ и $O_2$. Это и будут центры искомых окружностей.
6. Строим две окружности: одну с центром в $O_1$ и радиусом $R$, и вторую — с центром в $O_2$ и тем же радиусом $R$. Обе окружности являются решением задачи.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму.

Сколько решений имеет задача?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения прямой $c$ (серединной линии) и окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R = d/2$.

Количество точек пересечения прямой и окружности зависит от соотношения между радиусом окружности ($R$) и расстоянием от ее центра ($M$) до прямой ($c$). Обозначим это расстояние как $h_M$.

• Если $h_M < R$, то точек пересечения две.
• Если $h_M = R$, то точка пересечения одна (касание).
• Если $h_M > R$, то точек пересечения нет.

В условии задачи точка $M$ расположена между параллельными прямыми $a$ и $b$. Прямая $c$ является серединной линией для полосы, образованной прямыми $a$ и $b$. Расстояние от любой из прямых ($a$ или $b$) до прямой $c$ равно $R = d/2$.

Поскольку точка $M$ находится строго внутри полосы (то есть не лежит на прямых $a$ или $b$), расстояние от нее до серединной прямой $c$ всегда будет строго меньше $R$. То есть, для любой точки $M$ между прямыми $a$ и $b$ выполняется неравенство $0 \le h_M < R$.

Так как расстояние от центра вспомогательной окружности ($M$) до прямой ($c$) всегда меньше ее радиуса ($R$), они всегда будут пересекаться в двух различных точках. Следовательно, всегда существуют два центра ($O_1$ и $O_2$) для искомых окружностей.

Ответ: Задача всегда имеет два решения.

720. В равностороннем треугольнике $ABC$ из середины $M$ стороны $AC$ опущен перпендикуляр $MK$ на сторону $BC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $KC = 3$ см.