Номер 716, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

716. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

Для построения равнобедренного треугольника по заданной боковой стороне и медиане, проведенной к боковой стороне, сначала выполним анализ задачи, а затем перейдем к построению.

Пусть нам даны два отрезка: отрезок $b$, равный боковой стороне, и отрезок $m$, равный медиане, проведенной к боковой стороне. Искомый треугольник обозначим как $ABC$, где $AB = AC = b$. Пусть $BM$ — медиана к стороне $AC$, тогда $BM = m$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В этом треугольнике нам известны длины всех трех его сторон:

• $AB = b$ (боковая сторона искомого треугольника)
• $BM = m$ (медиана к боковой стороне)
• $AM = \frac{b}{2}$ (половина боковой стороны)

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABM$ по трем сторонам. После того как этот треугольник будет построен, мы сможем легко найти вершину $C$, продлив отрезок $AM$ за точку $M$ на его же длину.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки разделим отрезок $b$ пополам, чтобы получить отрезок длиной $\frac{b}{2}$.

2. Построим треугольник $ABM$ по трем сторонам: $AB=b$, $BM=m$ и $AM=\frac{b}{2}$.

   • Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный $b$.
   • Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $\frac{b}{2}$.
   • Из точки $B$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $m$.
   • Точку пересечения этих дуг обозначим $M$. Соединим точки $A$, $B$ и $M$ отрезками.

   (Заметим, что построение возможно, только если выполняется неравенство треугольника: $\frac{b}{2} < m < \frac{3b}{2}$).

3. Теперь найдем вершину $C$ искомого треугольника. Для этого проведем луч, начинающийся в точке $A$ и проходящий через точку $M$. На этом луче от точки $M$ отложим отрезок $MC$, равный отрезку $AM$.
4. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ является искомым. Во-первых, по построению сторона $AB = b$. Во-вторых, сторона $AC$ состоит из двух отрезков $AM$ и $MC$, каждый из которых равен $\frac{b}{2}$. Следовательно, $AC = AM + MC = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b$. Так как $AB = AC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный. В-третьих, отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой $M$ стороны $AC$, значит, $BM$ — это медиана. По построению ее длина равна $m$. Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник построен в соответствии с приведенным алгоритмом.

716. Две высоты равнобедренного треугольника при пересечении образуют угол $100^\circ$. Найдите углы данного треугольника.