Номер 716, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 716, страница 175.

716. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

Для построения равнобедренного треугольника по заданной боковой стороне и медиане, проведенной к боковой стороне, сначала выполним анализ задачи, а затем перейдем к построению.

Пусть нам даны два отрезка: отрезок `b`, равный боковой стороне, и отрезок `m`, равный медиане, проведенной к боковой стороне. Искомый треугольник обозначим как `ABC`, где $AB = AC = b$. Пусть `BM` — медиана к стороне `AC`, тогда $BM = m$.

По определению медианы, точка `M` является серединой стороны `AC`. Это означает, что $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим треугольник `ABM`. В этом треугольнике нам известны длины всех трех его сторон:

• $AB = b$ (боковая сторона искомого треугольника)
• $BM = m$ (медиана к боковой стороне)
• $AM = \frac{b}{2}$ (половина боковой стороны)

Таким образом, задача сводится к построению треугольника `ABM` по трем сторонам. После того как этот треугольник будет построен, мы сможем легко найти вершину `C`, продлив отрезок `AM` за точку `M` на его же длину.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки разделим отрезок `b` пополам, чтобы получить отрезок длиной $\frac{b}{2}$.
2. Построим треугольник `ABM` по трем сторонам: $AB=b$, $BM=m$ и $AM=\frac{b}{2}$.
   • Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок `AB`, равный `b`.
   • Из точки `A` как из центра проведем дугу окружности радиусом $\frac{b}{2}$.
   • Из точки `B` как из центра проведем дугу окружности радиусом `m`.
   • Точку пересечения этих дуг обозначим `M`. Соединим точки `A`, `B` и `M` отрезками.
   (Заметим, что построение возможно, только если выполняется неравенство треугольника: $\frac{b}{2} < m < \frac{3b}{2}$).
3. Теперь найдем вершину `C` искомого треугольника. Для этого проведем луч, начинающийся в точке `A` и проходящий через точку `M`. На этом луче от точки `M` отложим отрезок `MC`, равный отрезку `AM`.
4. Соединим точки `B` и `C` отрезком.

Доказательство

Построенный треугольник `ABC` является искомым. Во-первых, по построению сторона $AB = b$. Во-вторых, сторона $AC$ состоит из двух отрезков `AM` и `MC`, каждый из которых равен $\frac{b}{2}$. Следовательно, $AC = AM + MC = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b$. Так как $AB = AC$, треугольник `ABC` — равнобедренный. В-третьих, отрезок `BM` соединяет вершину `B` с серединой `M` стороны `AC`, значит, `BM` — это медиана. По построению ее длина равна `m`. Таким образом, треугольник `ABC` удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник построен в соответствии с приведенным алгоритмом.

716. Две высоты равнобедренного треугольника при пересечении образуют угол $100^\circ$. Найдите углы данного треугольника.