Номер 709, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 709, страница 175.

709. Для данной окружности постройте точку, являющуюся её центром.

Для построения центра данной окружности с помощью циркуля и линейки без делений необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать на окружности три произвольные точки, не лежащие на одной прямой. Обозначим их $A$, $B$ и $C$.

2. Соединить точки отрезками, чтобы получить две хорды, например, $AB$ и $BC$.

3. Построить серединный перпендикуляр к хорде $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ как из центров провести две пересекающиеся дуги окружности с одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AB$. Через точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к хорде $AB$.

4. Аналогичным образом построить серединный перпендикуляр ко второй хорде $BC$.

5. Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром данной окружности.

Обоснование:

Центр окружности равноудален от всех ее точек. Следовательно, он равноудален от концов любой хорды (например, $OA = OB = R$, где $O$ - центр, $A$ и $B$ - точки на окружности, $R$ - радиус). Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Таким образом, центр окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к каждой из хорд $AB$ и $BC$. Поскольку две непараллельные прямые пересекаются в единственной точке, точка пересечения этих двух серединных перпендикуляров и есть искомый центр окружности.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к любым двум непараллельным хордам данной окружности. Построение описано выше.

Рис. 344

709. На рисунке 344 $AB = BC = CD = DE$, $BF \perp AC$, $DK \perp CE$. Докажите, что $AF = EK$.