Номер 713, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 713, страница 175.

713. Даны две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ и отрезок $AB$. Постройте на прямой $m$ точку, удалённую от прямой $n$ на расстояние $AB$. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $X$ должна удовлетворять двум условиям:
1) $X$ принадлежит прямой $m$.
2) Расстояние от $X$ до прямой $n$ равно длине отрезка $AB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой $n$ на расстояние $AB$, представляет собой две прямые, назовем их $n_1$ и $n_2$, которые параллельны прямой $n$ и расположены по разные стороны от нее на расстоянии $AB$.

Таким образом, искомые точки — это точки пересечения прямой $m$ с прямыми $n_1$ и $n_2$.

Построение
1. Выберем на прямой $n$ произвольную точку $P$.
2. Проведем через точку $P$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $n$.
3. С помощью циркуля, установив его раствор равным длине отрезка $AB$, отложим на прямой $p$ от точки $P$ в обе стороны отрезки $PQ_1$ и $PQ_2$.
4. Через точки $Q_1$ и $Q_2$ проведем прямые $n_1$ и $n_2$, параллельные прямой $n$ (для этого можно построить перпендикуляры к прямой $p$ в точках $Q_1$ и $Q_2$).
5. Прямые $n_1$ и $n_2$ пересекут прямую $m$ в искомых точках $X_1$ и $X_2$.

Сколько решений имеет задача?
В условии сказано, что прямые $m$ и $n$ пересекаются. Это означает, что они не параллельны ($m \not\parallel n$).
Поскольку прямые $n_1$ и $n_2$ построены параллельно прямой $n$, прямая $m$ также не будет параллельна ни прямой $n_1$, ни прямой $n_2$.
Прямая, не параллельная другой прямой, пересекает ее ровно в одной точке. Так как $n_1$ и $n_2$ — это две различные параллельные прямые (поскольку длина отрезка $AB$, являясь расстоянием, не равна нулю), то прямая $m$ пересечет каждую из них в одной уникальной точке.
Следовательно, задача всегда будет иметь два решения.
Ответ: задача имеет два решения.

713. Из вершины прямого угла треугольника опустили высоту на гипотенузу. Докажите, что два треугольника, образовавшиеся при этом, и данный треугольник имеют соответственно равные острые углы.