Номер 718, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 718, страница 175.

718. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой.

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям: 1) лежать на данной окружности и 2) находиться на заданном расстоянии $d$ от данной прямой $l$.
Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на заданном расстоянии $d$ (где $d>0$) от прямой $l$, представляет собой две прямые, $l_1$ и $l_2$, которые параллельны прямой $l$ и расположены по обе стороны от нее.
Следовательно, искомые точки являются точками пересечения данной окружности и этих двух параллельных прямых.

Алгоритм построения:

1. Выбрать на данной прямой $l$ произвольную точку $A$.
2. Провести через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложить от точки $A$ в обе стороны отрезки длиной $d$, получив точки $B_1$ и $B_2$.
4. Через точки $B_1$ и $B_2$ провести прямые $l_1$ и $l_2$ соответственно, параллельные прямой $l$.
5. Точки пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ с данной окружностью являются искомыми. Если пересечений нет, то задача не имеет решений.

Ответ: Искомые точки строятся как точки пересечения данной окружности с двумя прямыми, которые параллельны данной прямой и отстоят от нее на заданное расстояние.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно общему числу точек пересечения данной окружности с парой построенных параллельных прямых $l_1$ и $l_2$. Это число зависит от взаимного расположения окружности и прямой $l$, а также от соотношения между радиусом окружности $R$ и заданным расстоянием $d$.
Пусть $h$ — расстояние от центра окружности до данной прямой $l$. Тогда расстояния от центра окружности до прямых $l_1$ и $l_2$ равны $|h-d|$ и $h+d$.
Число точек пересечения окружности с одной прямой (0, 1 или 2) зависит от того, как расстояние от центра до этой прямой соотносится с радиусом $R$.

Анализируя все возможные комбинации, задача может иметь следующее количество решений:

• 0 решений: если окружность не имеет общих точек ни с одной из прямых (например, когда $|h-d| > R$).
• 1 решение: если окружность касается одной из прямых и не пересекает другую (например, когда $|h-d| = R$ и $h+d > R$).
• 2 решения: если окружность пересекает одну прямую в двух точках, а другую не пересекает (когда $|h-d| < R$ и $h+d > R$), либо касается обеих прямых (это возможно, если центр окружности лежит на прямой $l$, то есть $h=0$, и при этом $d=R$).
• 3 решения: если окружность касается одной прямой и пересекает вторую (например, когда $h+d = R$ и $|h-d| < R$).
• 4 решения: если окружность пересекает обе прямые, каждую в двух точках (когда $h+d < R$).

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

718. Угол между высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника, проведёнными из одной вершины, равен $15^\circ$. Найдите углы данного треугольника. Сколько решений имеет задача?