Страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

704. Даны прямая $m$ и точки $A$ и $B$ вне её (рис. 379). Постройте на прямой $m$ точку, равноудалённую от точек $A$ и $B$.

Рис. 379

Искомая точка, назовем ее X, должна удовлетворять двум условиям: во-первых, принадлежать прямой $m$, и во-вторых, быть равноудаленной от точек A и B, то есть должно выполняться равенство $AX = BX$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае, от A и B), — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок AB).

Следовательно, искомая точка X является точкой пересечения прямой $m$ и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки A и B отрезком прямой.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AB. Для этого:
   • С помощью циркуля из точки A как из центра провести дугу окружности радиусом $R$, который больше половины длины отрезка AB.
   • Не меняя радиус циркуля, из точки B как из центра провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках.
   • Через полученные две точки пересечения дуг провести прямую с помощью линейки. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
3. Найти и отметить точку пересечения построенного серединного перпендикуляра с исходной прямой $m$. Эта точка и будет искомой точкой X.

Построенная точка X принадлежит прямой $m$ (по построению) и равноудалена от точек A и B (так как лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB).

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $m$ и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

704. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 75^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой треугольника, проведёнными из вершины $C$.

705. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $m$. Постройте точку, удалённую от прямой $m$ на расстояние $a$ и равноудалённую от точек $A$ и $B$. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи необходимо найти точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям. Проанализируем каждое из них с точки зрения геометрического места точек (ГМТ).

1. Точка удалена от прямой $m$ на расстояние $a$. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой на заданное расстояние $a$ (при $a > 0$), представляет собой две прямые, параллельные исходной прямой $m$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $a$. Обозначим эти прямые как $l_1$ и $l_2$.

2. Точка равноудалена от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка ($A$ и $B$), является серединным перпендикуляром к этому отрезку. Обозначим его как прямую $p$.

Искомые точки должны принадлежать обоим геометрическим местам одновременно, то есть они являются точками пересечения серединного перпендикуляра $p$ с двумя параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$.

1. Начертим прямую $m$ и отметим на ней две различные точки $A$ и $B$.

2. Найдем середину отрезка $AB$ и обозначим ее точкой $O$.

3. Через точку $O$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $m$. Эта прямая $p$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

4. На прямой $p$ отложим от точки $O$ в обе стороны (вверх и вниз от прямой $m$) два отрезка длиной $a$. Концы этих отрезков, назовем их $C_1$ и $C_2$, и будут искомыми точками.

Точки $C_1$ и $C_2$ по построению лежат на серединном перпендикуляре $p$, следовательно, они равноудалены от точек $A$ и $B$ ($AC_1=BC_1$ и $AC_2=BC_2$). Также расстояние от точек $C_1$ и $C_2$ до прямой $m$ равно длине перпендикуляра $OC_1$ (и $OC_2$), которая по построению равна $a$.

Проанализируем количество точек пересечения найденных ГМТ.

Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой $m$, то серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$ будет перпендикулярен прямой $m$.

Прямые $l_1$ и $l_2$ по определению параллельны прямой $m$.

Прямая ($p$), перпендикулярная одной из параллельных прямых ($m$), перпендикулярна и остальным ($l_1$ и $l_2$).

Поскольку прямая $p$ не параллельна прямым $l_1$ и $l_2$, она пересекает каждую из них, причем ровно в одной точке. Таким образом, мы получаем две точки пересечения: $C_1$ (пересечение $p$ и $l_1$) и $C_2$ (пересечение $p$ и $l_2$).

Следовательно, при условии, что $a > 0$ и точки $A$ и $B$ не совпадают, задача всегда имеет два решения. Эти два решения симметричны относительно прямой $m$.

Ответ: Задача имеет два решения.

705. Высоты $AD$ и $BK$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекаются в точке $H$, $\angle AHB = 128^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

706. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

Чтобы построить равнобедренный треугольник по заданным отрезкам — основанию $a$ и боковой стороне $b$ — с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля измерить длину отрезка $a$ и отложить на прямой от точки $A$ отрезок $AC$, равный $a$. Отрезок $AC$ будет являться основанием искомого треугольника.
3. С помощью циркуля измерить длину отрезка $b$.
4. Установить ножку циркуля в точку $A$ и провести дугу окружности с радиусом, равным $b$.
5. Не меняя раствор циркуля, установить его ножку в точку $C$ и провести вторую дугу с тем же радиусом $b$ так, чтобы она пересекла первую дугу.
6. Точку пересечения двух дуг обозначить буквой $B$. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.
7. С помощью линейки соединить отрезками точки $A$ и $B$, а также $B$ и $C$.

В результате этих действий будет построен треугольник $ABC$. Он является искомым, так как по построению его основание $AC$ равно заданному отрезку $a$, а боковые стороны $AB$ и $BC$ равны заданному отрезку $b$ (как радиусы окружностей, на пересечении дуг которых лежит точка $B$). Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Следует учесть, что построение возможно только при выполнении неравенства треугольника: сумма длин двух боковых сторон должна быть больше длины основания, то есть должно выполняться условие $b + b > a$, или $2b > a$. Если $2b \le a$, то дуги не пересекутся (или коснутся в точке, лежащей на прямой $AC$), и построить невырожденный треугольник будет невозможно.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом, является искомым равнобедренным треугольником по заданным основанию и боковой стороне.

706. Высоты AD и CM равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$) пересекаются в точке H, $\angle AHC = 140^\circ$. Найдите углы треугольника ABC.

707. Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$, причём $AB \ne AC$. Постройте точку $M$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $MB = MC$.

Для решения задачи используем метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка M должна удовлетворять двум условиям, из которых следуют её свойства.

Во-первых, точка M равноудалена от сторон угла A. Геометрическое место точек, обладающих этим свойством, — это биссектриса угла A. Таким образом, точка M лежит на биссектрисе угла A.

Во-вторых, расстояния от точки M до точек B и C равны, то есть $MB = MC$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (B и C), — это серединный перпендикуляр к отрезку BC. Таким образом, точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.

Следовательно, чтобы найти точку M, необходимо построить биссектрису угла A и серединный перпендикуляр к отрезку BC. Искомая точка будет находиться на их пересечении.

Алгоритм построения:

1. Построить биссектрису угла A.
2. Соединить точки B и C отрезком.
3. Построить серединный перпендикуляр к отрезку BC.
4. Точка пересечения построенных биссектрисы и серединного перпендикуляра является искомой точкой M.

Данная задача всегда имеет единственное решение. Биссектриса угла A (являющаяся лучом) и серединный перпендикуляр к BC (являющийся прямой) пересекаются ровно в одной точке. Они не могут быть параллельны, так как в этом случае биссектриса была бы перпендикулярна отрезку BC. Это означало бы, что треугольник ABC — равнобедренный с $AB = AC$, что противоречит условию задачи.

Ответ: Искомая точка M — это точка пересечения биссектрисы угла A и серединного перпендикуляра к отрезку BC.

707. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $42^\circ$. Найдите меньший из углов, образованных биссектрисой прямого угла и гипотенузой.

708. Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A. Постройте точку D, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $DC = BC$. Сколько решений может иметь задача?

Постройте точку D, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $DC = BC$

Для нахождения точки D используем метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка D должна удовлетворять двум условиям, каждое из которых определяет некоторое геометрическое место точек.

• Первое условие: точка D равноудалена от сторон угла A. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка D лежит на биссектрисе угла A. Обозначим эту биссектрису лучом $l$.
• Второе условие: $DC = BC$. Это означает, что точка D находится от точки C на расстоянии, равном длине отрезка BC. Геометрическое место точек, удаленных от данной точки (C) на заданное расстояние ($BC$), есть окружность с центром в этой точке (C) и радиусом, равным этому расстоянию ($R=BC$).

Таким образом, искомая точка D является точкой пересечения двух геометрических мест: биссектрисы $l$ угла A и окружности с центром в точке C и радиусом $R = BC$.

Алгоритм построения:

1. Строим биссектрису $l$ угла A.
2. С помощью циркуля измеряем длину отрезка BC.
3. Строим окружность с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка BC.
4. Точки пересечения биссектрисы $l$ и построенной окружности являются искомыми точками D. Так как точка D должна принадлежать углу, а биссектриса $l$ целиком лежит внутри угла, любая точка пересечения будет удовлетворять этому условию.

Ответ: Искомая точка D (или точки D) находится на пересечении биссектрисы угла A и окружности с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка BC.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи соответствует количеству точек пересечения прямой (биссектрисы $l$) и окружности (с центром в точке C и радиусом $R = BC$). Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяет три возможных случая.

Пусть $h$ — это расстояние от центра окружности (точки C) до прямой, содержащей биссектрису $l$.

• Если расстояние от точки C до биссектрисы $l$ меньше радиуса окружности ($h < BC$), то прямая пересекает окружность в двух различных точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние от точки C до биссектрисы $l$ равно радиусу окружности ($h = BC$), то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки C до биссектрисы $l$ больше радиуса окружности ($h > BC$), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача может иметь два, одно или ноль решений в зависимости от взаимного расположения точек B и C относительно угла A.

708. Из точек $C$ и $D$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $CE$ и $DF$ на эту прямую, $CF = DE$. Докажите, что $CE = DF$.

709. Для данной окружности постройте точку, являющуюся её центром.

Для построения центра данной окружности с помощью циркуля и линейки без делений необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать на окружности три произвольные точки, не лежащие на одной прямой. Обозначим их $A$, $B$ и $C$.

2. Соединить точки отрезками, чтобы получить две хорды, например, $AB$ и $BC$.

3. Построить серединный перпендикуляр к хорде $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ как из центров провести две пересекающиеся дуги окружности с одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AB$. Через точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к хорде $AB$.

4. Аналогичным образом построить серединный перпендикуляр ко второй хорде $BC$.

5. Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром данной окружности.

Обоснование:

Центр окружности равноудален от всех ее точек. Следовательно, он равноудален от концов любой хорды (например, $OA = OB = R$, где $O$ - центр, $A$ и $B$ - точки на окружности, $R$ - радиус). Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Таким образом, центр окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к каждой из хорд $AB$ и $BC$. Поскольку две непараллельные прямые пересекаются в единственной точке, точка пересечения этих двух серединных перпендикуляров и есть искомый центр окружности.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к любым двум непараллельным хордам данной окружности. Построение описано выше.

Рис. 344

709. На рисунке 344 $AB = BC = CD = DE$, $BF \perp AC$, $DK \perp CE$. Докажите, что $AF = EK$.

710. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, центр которой принадлежит данной прямой.

Пусть нам даны радиус $R$ (в виде отрезка), точка $A$ и прямая $l$. Задача состоит в том, чтобы построить окружность $\omega$ с радиусом $R$, которая проходит через точку $A$ и центр которой, обозначим его $O$, лежит на прямой $l$.

Анализ

Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Центр $O$ должен лежать на данной прямой $l$. Это означает, что $O$ принадлежит геометрическому месту точек, являющемуся прямой $l$.
2. Окружность проходит через точку $A$ и имеет радиус $R$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно $R$, то есть $OA = R$. Геометрическое место точек, удаленных от точки $A$ на расстояние $R$, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.
Следовательно, искомый центр $O$ должен быть точкой пересечения прямой $l$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $R$.

Построение

1. Возьмем циркуль и установим его раствор равным данному радиусу $R$.
2. Построим окружность (или дугу) с центром в данной точке $A$ и радиусом $R$.
3. Найдем точки пересечения этой окружности с данной прямой $l$. Обозначим эти точки $O_1$ и $O_2$ (если они существуют). Эти точки и будут центрами искомых окружностей.
4. Если точка пересечения $O_1$ существует, построим окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$.
5. Если существует вторая точка пересечения $O_2$, построим окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R$.

Построенные окружности являются искомыми.

Доказательство

Рассмотрим окружность с центром в точке $O_1$ (если она существует) и радиусом $R$. По построению, ее центр $O_1$ лежит на прямой $l$. Ее радиус равен данному радиусу $R$. Так как точка $O_1$ лежит на окружности с центром $A$ и радиусом $R$, то расстояние $AO_1 = R$. Это означает, что окружность с центром $O_1$ и радиусом $R$ проходит через точку $A$. Таким образом, эта окружность удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогичное доказательство справедливо и для окружности с центром в точке $O_2$.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения точки $A$ и прямой $l$, а именно от расстояния от точки $A$ до прямой $l$, которое мы обозначим как $d$.

• Два решения: Если расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $l$ меньше заданного радиуса $R$ ($d < R$), то окружность с центром в $A$ и радиусом $R$ пересечет прямую $l$ в двух точках. В этом случае задача имеет два решения (две окружности).
  
• Одно решение: Если расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $l$ равно заданному радиусу $R$ ($d = R$), то окружность с центром в $A$ и радиусом $R$ будет касаться прямой $l$ в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
  
• Нет решений: Если расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $l$ больше заданного радиуса $R$ ($d > R$), то окружность с центром в $A$ и радиусом $R$ не будет иметь общих точек с прямой $l$. В этом случае задача не имеет решений.
  

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо построить вспомогательную окружность с центром в данной точке $A$ и данным радиусом $R$. Точки пересечения этой вспомогательной окружности с данной прямой $l$ будут являться центрами искомых окружностей. В зависимости от расстояния от точки до прямой, задача может иметь два, одно или ни одного решения.

710. Высоты $BM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $\angle ABC = 35^\circ$, $\angle ACB = 83^\circ$. Найдите $\angle BHC$.

711. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Пусть даны две точки $A$ и $B$ и радиус $R$. Требуется построить окружность радиуса $R$, проходящую через точки $A$ и $B$.

Анализ

Центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен находиться на одинаковом расстоянии, равном радиусу $R$, от обеих точек $A$ и $B$. То есть, должны выполняться равенства $OA = R$ и $OB = R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от точки $A$ на расстояние $R$, представляет собой окружность с центром в $A$ и радиусом $R$. Аналогично, все точки, удаленные от $B$ на расстояние $R$, лежат на окружности с центром в $B$ и радиусом $R$.

Следовательно, искомый центр $O$ является точкой пересечения этих двух окружностей. Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения двух окружностей: $c_1(A, R)$ и $c_2(B, R)$.

Построение

1. Задаем раствор циркуля, равный длине данного радиуса $R$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим окружность (или дугу) $c_1$ радиусом $R$.
3. Из точки $B$ как из центра тем же раствором циркуля проводим окружность (или дугу) $c_2$ радиусом $R$.
4. Точки пересечения окружностей $c_1$ и $c_2$ (если они есть) являются центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.
5. Проводим окружность с центром в любой из найденных точек ($O_1$ или $O_2$) и радиусом $R$. По построению, эта окружность пройдет через точки $A$ и $B$.

Доказательство и исследование

Докажем, что построенная окружность верна. Пусть $O$ — точка пересечения построенных окружностей $c_1$ и $c_2$. Так как $O$ принадлежит $c_1$, то $OA = R$. Так как $O$ принадлежит $c_2$, то $OB = R$. Следовательно, окружность с центром в $O$ и радиусом $R$ проходит через обе точки $A$ и $B$.

Исследуем количество решений. Оно зависит от взаимного расположения окружностей $c_1$ и $c_2$, которое, в свою очередь, определяется соотношением между радиусом $R$ и расстоянием $d = AB$ между данными точками.

• Если $2R > d$ (то есть $R > d/2$), окружности пересекаются в двух точках. Задача имеет два решения.
• Если $2R = d$ (то есть $R = d/2$), окружности касаются в одной точке. Задача имеет одно решение. Центром окружности будет середина отрезка $AB$.
• Если $2R < d$ (то есть $R < d/2$), окружности не имеют общих точек. Задача не имеет решений.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо найти точки пересечения двух окружностей с данным радиусом $R$, центры которых находятся в данных точках $A$ и $B$. Задача может иметь два, одно или ни одного решения в зависимости от того, больше, равен или меньше данный радиус половины расстояния между данными точками.

711. Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины его прямого угла, равен $12^\circ$. Найдите острые углы данного треугольника.

712. Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка.

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Пусть дан отрезок $AB$ и окружность $\omega$. Множество всех точек, равноудалённых от точек $A$ и $B$, представляет собой прямую $m$, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. По условию задачи, искомые точки должны принадлежать как данной окружности, так и быть равноудалёнными от концов данного отрезка. Следовательно, чтобы найти эти точки, нужно найти точки пересечения данной окружности $\omega$ и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку $AB$.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи соответствует количеству точек пересечения прямой (серединного перпендикуляра) и окружности. Это число зависит от взаимного расположения окружности и серединного перпендикуляра. Пусть $R$ — радиус данной окружности, а $d$ — расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра к отрезку. Возможны три случая:

1. Если расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра меньше радиуса ($d < R$), то прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.

2. Если расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра равно радиусу ($d = R$), то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.

3. Если расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра больше радиуса ($d > R$), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений.

712. На гипотенузе $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AC = AM$ и $BC = BK$. Найдите $\angle MCK$.

713. Даны две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ и отрезок $AB$. Постройте на прямой $m$ точку, удалённую от прямой $n$ на расстояние $AB$. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $X$ должна удовлетворять двум условиям:
1) $X$ принадлежит прямой $m$.
2) Расстояние от $X$ до прямой $n$ равно длине отрезка $AB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой $n$ на расстояние $AB$, представляет собой две прямые, назовем их $n_1$ и $n_2$, которые параллельны прямой $n$ и расположены по разные стороны от нее на расстоянии $AB$.

Таким образом, искомые точки — это точки пересечения прямой $m$ с прямыми $n_1$ и $n_2$.

Построение
1. Выберем на прямой $n$ произвольную точку $P$.
2. Проведем через точку $P$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $n$.
3. С помощью циркуля, установив его раствор равным длине отрезка $AB$, отложим на прямой $p$ от точки $P$ в обе стороны отрезки $PQ_1$ и $PQ_2$.
4. Через точки $Q_1$ и $Q_2$ проведем прямые $n_1$ и $n_2$, параллельные прямой $n$ (для этого можно построить перпендикуляры к прямой $p$ в точках $Q_1$ и $Q_2$).
5. Прямые $n_1$ и $n_2$ пересекут прямую $m$ в искомых точках $X_1$ и $X_2$.

Сколько решений имеет задача?
В условии сказано, что прямые $m$ и $n$ пересекаются. Это означает, что они не параллельны ($m \not\parallel n$).
Поскольку прямые $n_1$ и $n_2$ построены параллельно прямой $n$, прямая $m$ также не будет параллельна ни прямой $n_1$, ни прямой $n_2$.
Прямая, не параллельная другой прямой, пересекает ее ровно в одной точке. Так как $n_1$ и $n_2$ — это две различные параллельные прямые (поскольку длина отрезка $AB$, являясь расстоянием, не равна нулю), то прямая $m$ пересечет каждую из них в одной уникальной точке.
Следовательно, задача всегда будет иметь два решения.
Ответ: задача имеет два решения.

713. Из вершины прямого угла треугольника опустили высоту на гипотенузу. Докажите, что два треугольника, образовавшиеся при этом, и данный треугольник имеют соответственно равные острые углы.

714. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. На катете $AC$ постройте точку $D$, удалённую от прямой $AB$ на расстояние $CD$.

Анализ

Пусть $D$ — искомая точка на катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). По условию задачи, расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно длине отрезка $CD$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим перпендикуляр $DH$ из точки $D$ на гипотенузу $AB$. Тогда условие задачи записывается как $DH = CD$.

Так как $\angle C = 90^\circ$, то катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Поскольку точка $D$ лежит на $AC$, отрезок $CD$ является перпендикуляром из точки $D$ к прямой $BC$. Следовательно, длина $CD$ — это расстояние от точки $D$ до прямой $BC$.

Таким образом, условие $DH = CD$ равносильно тому, что точка $D$ равноудалена от прямых (сторон угла) $AB$ и $BC$.

Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, — это его биссектриса. Значит, точка $D$ должна лежать на биссектрисе угла $ABC$.

Поскольку точка $D$ также должна лежать на катете $AC$, она является точкой пересечения биссектрисы угла $ABC$ и катета $AC$.

Построение

1. Строим биссектрису угла $ABC$. Для этого проводим окружность с центром в точке $B$ произвольного радиуса. Пусть она пересекает стороны $BA$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.

2. Из точек $M$ и $N$ проводим две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке $K$.

3. Проводим луч $BK$. Этот луч является биссектрисой угла $ABC$.

4. Точка пересечения луча $BK$ с катетом $AC$ является искомой точкой $D$.

Доказательство

По построенному, точка $D$ принадлежит катету $AC$. Также по построению, точка $D$ лежит на биссектрисе угла $ABC$.

Согласно свойству биссектрисы угла, любая ее точка равноудалена от сторон этого угла. Следовательно, расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $D$ до прямой $BC$.

Расстояние от $D$ до $AB$ — это длина перпендикуляра $DH$, опущенного из $D$ на $AB$.

Расстояние от $D$ до $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $D$ на $BC$. Так как $D$ лежит на $AC$ и $AC \perp BC$, этим перпендикуляром является сам отрезок $CD$.

Таким образом, мы доказали, что $DH = CD$, что и требовалось. Построенная точка $D$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Искомая точка $D$ — это точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ и катета $AC$.

714. В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ известно, что $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, высоты $BM$ и $EK$ равны. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

715. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из данных сторон.

Пусть нам даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $m_a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC$ равна $a$, сторона $AC$ равна $b$, а медиана $AM$ (проведенная к стороне $BC$) равна $m_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AM$ — его медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $MC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$. Рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике нам известны все три стороны: $AC = b$, $AM = m_a$ и $MC = \frac{a}{2}$. Таким образом, мы можем построить треугольник $AMC$ по трем сторонам. Построив треугольник $AMC$, мы найдем вершины $A$, $M$ и $C$ искомого треугольника. Чтобы найти вершину $B$, нужно на луче $CM$ отложить отрезок $MB$, равный отрезку $MC$. Соединив точки $A$ и $B$, получим искомый треугольник $ABC$.

Построение

1. Строим отрезок, равный $\frac{a}{2}$. Для этого делим данный отрезок длиной $a$ пополам с помощью циркуля и линейки.
2. Строим треугольник $AMC$ по трем известным сторонам: $AC = b$, $AM = m_a$ и $MC = \frac{a}{2}$.
   • Проводим прямую и откладываем на ней отрезок $MC$ длиной $\frac{a}{2}$.
   • Из точки $C$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
   • Из точки $M$ проводим дугу окружности радиусом $m_a$.
   • Точка пересечения этих дуг будет вершиной $A$.
3. На прямой $CM$ от точки $M$ в сторону, противоположную точке $C$, откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $MC$.
4. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком.
5. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению (как радиус дуги с центром в C). Отрезок $AM$ равен $m_a$ по построению (как радиус дуги с центром в M). Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $BM$ и $MC$. По построению, $MC = \frac{a}{2}$ и $BM = MC = \frac{a}{2}$. Следовательно, $BC = BM + MC = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$. Так как $M$ — середина отрезка $BC$, то $AM$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный треугольник является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $a, b, m_a$. Основной шаг построения — это построение треугольника $AMC$ по трем сторонам $b, m_a$ и $\frac{a}{2}$. Такой треугольник можно построить тогда и только тогда, когда для его сторон выполняется неравенство треугольника, то есть каждая сторона меньше суммы двух других:

• $b + m_a > \frac{a}{2}$
• $b + \frac{a}{2} > m_a$
• $m_a + \frac{a}{2} > b$

Если эти условия выполняются, то задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как дуги окружностей пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $MC$, что приведет к построению двух равных треугольников). Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется (или превращается в равенство), то построить треугольник $AMC$ невозможно, и, следовательно, задача не имеет решения.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если длины отрезков $b, m_a$ и $\frac{a}{2}$ удовлетворяют неравенству треугольника.

715. Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $OK = OM$, $\angle BAM = \angle ACK$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равносторонний.

716. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

Для построения равнобедренного треугольника по заданной боковой стороне и медиане, проведенной к боковой стороне, сначала выполним анализ задачи, а затем перейдем к построению.

Пусть нам даны два отрезка: отрезок `b`, равный боковой стороне, и отрезок `m`, равный медиане, проведенной к боковой стороне. Искомый треугольник обозначим как `ABC`, где $AB = AC = b$. Пусть `BM` — медиана к стороне `AC`, тогда $BM = m$.

По определению медианы, точка `M` является серединой стороны `AC`. Это означает, что $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим треугольник `ABM`. В этом треугольнике нам известны длины всех трех его сторон:

• $AB = b$ (боковая сторона искомого треугольника)
• $BM = m$ (медиана к боковой стороне)
• $AM = \frac{b}{2}$ (половина боковой стороны)

Таким образом, задача сводится к построению треугольника `ABM` по трем сторонам. После того как этот треугольник будет построен, мы сможем легко найти вершину `C`, продлив отрезок `AM` за точку `M` на его же длину.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки разделим отрезок `b` пополам, чтобы получить отрезок длиной $\frac{b}{2}$.
2. Построим треугольник `ABM` по трем сторонам: $AB=b$, $BM=m$ и $AM=\frac{b}{2}$.
   • Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок `AB`, равный `b`.
   • Из точки `A` как из центра проведем дугу окружности радиусом $\frac{b}{2}$.
   • Из точки `B` как из центра проведем дугу окружности радиусом `m`.
   • Точку пересечения этих дуг обозначим `M`. Соединим точки `A`, `B` и `M` отрезками.
   (Заметим, что построение возможно, только если выполняется неравенство треугольника: $\frac{b}{2} < m < \frac{3b}{2}$).
3. Теперь найдем вершину `C` искомого треугольника. Для этого проведем луч, начинающийся в точке `A` и проходящий через точку `M`. На этом луче от точки `M` отложим отрезок `MC`, равный отрезку `AM`.
4. Соединим точки `B` и `C` отрезком.

Доказательство

Построенный треугольник `ABC` является искомым. Во-первых, по построению сторона $AB = b$. Во-вторых, сторона $AC$ состоит из двух отрезков `AM` и `MC`, каждый из которых равен $\frac{b}{2}$. Следовательно, $AC = AM + MC = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b$. Так как $AB = AC$, треугольник `ABC` — равнобедренный. В-третьих, отрезок `BM` соединяет вершину `B` с серединой `M` стороны `AC`, значит, `BM` — это медиана. По построению ее длина равна `m`. Таким образом, треугольник `ABC` удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник построен в соответствии с приведенным алгоритмом.

716. Две высоты равнобедренного треугольника при пересечении образуют угол $100^\circ$. Найдите углы данного треугольника.

717. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

Задача решается в два этапа: сначала выполняется построение, а затем проводится анализ числа возможных решений.

Пусть даны отрезок a, соответствующий основанию, и отрезок R, соответствующий радиусу описанной окружности.

1. На прямой откладываем отрезок AC длиной a.
2. Строим серединный перпендикуляр m к отрезку AC. Пусть H — середина AC.
3. Центр описанной окружности O равноудален от точек A и C на расстояние R. Для его нахождения строим окружность с центром в точке A и радиусом R. Точки пересечения этой окружности с прямой m являются возможными положениями центра O. Это построение возможно, если $R \ge a/2$.
4. Выбираем одну из точек пересечения (если они существуют) в качестве центра O и строим окружность с центром O и радиусом R (описанную окружность).
5. Находим точки пересечения описанной окружности с прямой m. Это будут третья вершина искомого треугольника, B. Таких точек может быть две, B₁ и B₂.
6. Соединяем вершины. Треугольники ΔAB₁C и ΔAB₂C являются искомыми.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. В результате могут быть получены либо два треугольника, либо ни одного, в зависимости от соотношения длин данных отрезков.

Количество решений задачи зависит от соотношения между длиной основания a и радиусом описанной окружности R. Основание треугольника является хордой описанной окружности, поэтому его длина не может превышать диаметр окружности, то есть должно выполняться условие $a \le 2R$.

• Если $a > 2R$ (или $R < a/2$): основание длиннее диаметра окружности, что невозможно. При построении окружность с центром A и радиусом R не пересечет серединный перпендикуляр, так как кратчайшее расстояние от A до этого перпендикуляра равно $a/2$, что больше R. Решений нет.

• Если $a = 2R$ (или $R = a/2$): основание является диаметром. Существуют две вершины (по обе стороны от основания), образующие два равных друг другу равнобедренных прямоугольных треугольника. Задача имеет два решения.

• Если $a < 2R$ (или $R > a/2$): основание короче диаметра. Существуют две вершины, образующие два неравных равнобедренных треугольника: один остроугольный, другой тупоугольный. Их высоты, проведенные к основанию, равны $h_1 = R + \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$ и $h_2 = R - \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$. Задача имеет два решения.

Таким образом, число возможных решений — ноль или два.

Ответ: Задача может иметь 0 или 2 решения.

717. В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ – прямой, $CH$ – высота данного треугольника, $CD$ – биссектриса треугольника $BCH$. Докажите, что $AC = AD$.

718. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой.

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям: 1) лежать на данной окружности и 2) находиться на заданном расстоянии $d$ от данной прямой $l$.
Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на заданном расстоянии $d$ (где $d>0$) от прямой $l$, представляет собой две прямые, $l_1$ и $l_2$, которые параллельны прямой $l$ и расположены по обе стороны от нее.
Следовательно, искомые точки являются точками пересечения данной окружности и этих двух параллельных прямых.

Алгоритм построения:

1. Выбрать на данной прямой $l$ произвольную точку $A$.
2. Провести через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложить от точки $A$ в обе стороны отрезки длиной $d$, получив точки $B_1$ и $B_2$.
4. Через точки $B_1$ и $B_2$ провести прямые $l_1$ и $l_2$ соответственно, параллельные прямой $l$.
5. Точки пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ с данной окружностью являются искомыми. Если пересечений нет, то задача не имеет решений.

Ответ: Искомые точки строятся как точки пересечения данной окружности с двумя прямыми, которые параллельны данной прямой и отстоят от нее на заданное расстояние.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно общему числу точек пересечения данной окружности с парой построенных параллельных прямых $l_1$ и $l_2$. Это число зависит от взаимного расположения окружности и прямой $l$, а также от соотношения между радиусом окружности $R$ и заданным расстоянием $d$.
Пусть $h$ — расстояние от центра окружности до данной прямой $l$. Тогда расстояния от центра окружности до прямых $l_1$ и $l_2$ равны $|h-d|$ и $h+d$.
Число точек пересечения окружности с одной прямой (0, 1 или 2) зависит от того, как расстояние от центра до этой прямой соотносится с радиусом $R$.

Анализируя все возможные комбинации, задача может иметь следующее количество решений:

• 0 решений: если окружность не имеет общих точек ни с одной из прямых (например, когда $|h-d| > R$).
• 1 решение: если окружность касается одной из прямых и не пересекает другую (например, когда $|h-d| = R$ и $h+d > R$).
• 2 решения: если окружность пересекает одну прямую в двух точках, а другую не пересекает (когда $|h-d| < R$ и $h+d > R$), либо касается обеих прямых (это возможно, если центр окружности лежит на прямой $l$, то есть $h=0$, и при этом $d=R$).
• 3 решения: если окружность касается одной прямой и пересекает вторую (например, когда $h+d = R$ и $|h-d| < R$).
• 4 решения: если окружность пересекает обе прямые, каждую в двух точках (когда $h+d < R$).

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

718. Угол между высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника, проведёнными из одной вершины, равен $15^\circ$. Найдите углы данного треугольника. Сколько решений имеет задача?