Номер 712, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 712, страница 175.

712. Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка.

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Пусть дан отрезок $AB$ и окружность $\omega$. Множество всех точек, равноудалённых от точек $A$ и $B$, представляет собой прямую $m$, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. По условию задачи, искомые точки должны принадлежать как данной окружности, так и быть равноудалёнными от концов данного отрезка. Следовательно, чтобы найти эти точки, нужно найти точки пересечения данной окружности $\omega$ и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку $AB$.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи соответствует количеству точек пересечения прямой (серединного перпендикуляра) и окружности. Это число зависит от взаимного расположения окружности и серединного перпендикуляра. Пусть $R$ — радиус данной окружности, а $d$ — расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра к отрезку. Возможны три случая:

1. Если расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра меньше радиуса ($d < R$), то прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.

2. Если расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра равно радиусу ($d = R$), то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.

3. Если расстояние от центра окружности до серединного перпендикуляра больше радиуса ($d > R$), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений.

712. На гипотенузе $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AC = AM$ и $BC = BK$. Найдите $\angle MCK$.