Номер 705, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 705, страница 175.

705. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $m$. Постройте точку, удалённую от прямой $m$ на расстояние $a$ и равноудалённую от точек $A$ и $B$. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи необходимо найти точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям. Проанализируем каждое из них с точки зрения геометрического места точек (ГМТ).

1. Точка удалена от прямой $m$ на расстояние $a$. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой на заданное расстояние $a$ (при $a > 0$), представляет собой две прямые, параллельные исходной прямой $m$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $a$. Обозначим эти прямые как $l_1$ и $l_2$.

2. Точка равноудалена от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка ($A$ и $B$), является серединным перпендикуляром к этому отрезку. Обозначим его как прямую $p$.

Искомые точки должны принадлежать обоим геометрическим местам одновременно, то есть они являются точками пересечения серединного перпендикуляра $p$ с двумя параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$.

Построение

1. Начертим прямую $m$ и отметим на ней две различные точки $A$ и $B$.

2. Найдем середину отрезка $AB$ и обозначим ее точкой $O$.

3. Через точку $O$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $m$. Эта прямая $p$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

4. На прямой $p$ отложим от точки $O$ в обе стороны (вверх и вниз от прямой $m$) два отрезка длиной $a$. Концы этих отрезков, назовем их $C_1$ и $C_2$, и будут искомыми точками.

Точки $C_1$ и $C_2$ по построению лежат на серединном перпендикуляре $p$, следовательно, они равноудалены от точек $A$ и $B$ ($AC_1=BC_1$ и $AC_2=BC_2$). Также расстояние от точек $C_1$ и $C_2$ до прямой $m$ равно длине перпендикуляра $OC_1$ (и $OC_2$), которая по построению равна $a$.

Сколько решений имеет задача?

Проанализируем количество точек пересечения найденных ГМТ.

Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой $m$, то серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$ будет перпендикулярен прямой $m$.

Прямые $l_1$ и $l_2$ по определению параллельны прямой $m$.

Прямая ($p$), перпендикулярная одной из параллельных прямых ($m$), перпендикулярна и остальным ($l_1$ и $l_2$).

Поскольку прямая $p$ не параллельна прямым $l_1$ и $l_2$, она пересекает каждую из них, причем ровно в одной точке. Таким образом, мы получаем две точки пересечения: $C_1$ (пересечение $p$ и $l_1$) и $C_2$ (пересечение $p$ и $l_2$).

Следовательно, при условии, что $a > 0$ и точки $A$ и $B$ не совпадают, задача всегда имеет два решения. Эти два решения симметричны относительно прямой $m$.

Ответ: Задача имеет два решения.

705. Высоты $AD$ и $BK$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекаются в точке $H$, $\angle AHB = 128^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.