Номер 703, страница 172 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 703, страница 172.

703. На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и полностью накрыли его двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хватило бы одного из этих треугольников.

Обозначим исходный равносторонний треугольник как $T$, а его вершины — $A$, $B$ и $C$. Пусть длина стороны треугольника $T$ равна $a$.

По условию, треугольник $T$ полностью накрыт двумя другими равносторонними треугольниками, $T_1$ и $T_2$. Обозначим длины их сторон как $a_1$ и $a_2$ соответственно. То, что $T$ полностью накрыт $T_1$ и $T_2$, означает, что любая точка треугольника $T$ принадлежит хотя бы одному из треугольников $T_1$ или $T_2$. Математически это можно записать как $T \subseteq T_1 \cup T_2$.

Рассмотрим три вершины треугольника $T$: $A, B, C$. Так как они являются точками треугольника $T$, каждая из них должна находиться либо в треугольнике $T_1$, либо в треугольнике $T_2$.

Здесь мы можем применить принцип Дирихле (также известный как принцип ящиков). У нас есть три вершины («голубя») и два треугольника, в которых они могут располагаться («ящика»). Согласно этому принципу, по крайней мере два «голубя» должны оказаться в одном «ящике». Это означает, что как минимум две вершины треугольника $T$ должны принадлежать одному и тому же накрывающему треугольнику (либо $T_1$, либо $T_2$).

Допустим, без ограничения общности, что вершины $A$ и $B$ обе находятся в треугольнике $T_1$. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно длине стороны треугольника $T$, то есть $|AB| = a$.

Любой равносторонний треугольник является выпуклой фигурой. Наибольшее расстояние между любыми двумя точками выпуклой фигуры называется её диаметром. Для многоугольника диаметр равен наибольшему расстоянию между его вершинами. В случае равностороннего треугольника со стороной $s$ его диаметр равен $s$. Таким образом, диаметр треугольника $T_1$ равен его стороне $a_1$.

Поскольку точки $A$ и $B$ принадлежат треугольнику $T_1$, расстояние между ними не может превышать диаметр этого треугольника. Следовательно, $|AB| \le a_1$, что означает $a \le a_1$.

Если сторона треугольника $T$ не больше стороны треугольника $T_1$ ($a \le a_1$), то треугольник $T_1$ может полностью покрыть треугольник $T$. Для этого достаточно совместить одну из вершин $T_1$ с вершиной $T$ и две из сторон, выходящих из этих вершин.

Таким образом, если две вершины $T$ лежат в $T_1$, то $T_1$ сам по себе достаточен для покрытия $T$.

Аналогично, если бы две вершины (например, $B$ и $C$) оказались в треугольнике $T_2$, мы бы получили, что $|BC| \le a_2$, или $a \le a_2$. В этом случае треугольник $T_2$ был бы достаточен для покрытия $T$.

Поскольку по принципу Дирихле по крайней мере две вершины исходного треугольника всегда окажутся в одном из накрывающих треугольников, то хотя бы один из этих двух треугольников ($T_1$ или $T_2$) будет иметь сторону не меньшую, чем у исходного треугольника $T$. Это и доказывает, что одного из этих треугольников хватило бы для покрытия.

Ответ: Утверждение доказано. Как минимум две вершины исходного треугольника должны попасть в один из накрывающих треугольников. Это означает, что сторона этого накрывающего треугольника не меньше стороны исходного, и, следовательно, его одного достаточно для покрытия.

703. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = MK$. Известно, что $\angle B = 65^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Найдите угол $KAC$.