Номер 708, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 708, страница 175.

708. Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A. Постройте точку D, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $DC = BC$. Сколько решений может иметь задача?

Постройте точку D, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $DC = BC$

Для нахождения точки D используем метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка D должна удовлетворять двум условиям, каждое из которых определяет некоторое геометрическое место точек.

• Первое условие: точка D равноудалена от сторон угла A. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка D лежит на биссектрисе угла A. Обозначим эту биссектрису лучом $l$.
• Второе условие: $DC = BC$. Это означает, что точка D находится от точки C на расстоянии, равном длине отрезка BC. Геометрическое место точек, удаленных от данной точки (C) на заданное расстояние ($BC$), есть окружность с центром в этой точке (C) и радиусом, равным этому расстоянию ($R=BC$).

Таким образом, искомая точка D является точкой пересечения двух геометрических мест: биссектрисы $l$ угла A и окружности с центром в точке C и радиусом $R = BC$.

Алгоритм построения:

1. Строим биссектрису $l$ угла A.
2. С помощью циркуля измеряем длину отрезка BC.
3. Строим окружность с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка BC.
4. Точки пересечения биссектрисы $l$ и построенной окружности являются искомыми точками D. Так как точка D должна принадлежать углу, а биссектриса $l$ целиком лежит внутри угла, любая точка пересечения будет удовлетворять этому условию.

Ответ: Искомая точка D (или точки D) находится на пересечении биссектрисы угла A и окружности с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка BC.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи соответствует количеству точек пересечения прямой (биссектрисы $l$) и окружности (с центром в точке C и радиусом $R = BC$). Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяет три возможных случая.

Пусть $h$ — это расстояние от центра окружности (точки C) до прямой, содержащей биссектрису $l$.

• Если расстояние от точки C до биссектрисы $l$ меньше радиуса окружности ($h < BC$), то прямая пересекает окружность в двух различных точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние от точки C до биссектрисы $l$ равно радиусу окружности ($h = BC$), то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки C до биссектрисы $l$ больше радиуса окружности ($h > BC$), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача может иметь два, одно или ноль решений в зависимости от взаимного расположения точек B и C относительно угла A.

708. Из точек $C$ и $D$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $CE$ и $DF$ на эту прямую, $CF = DE$. Докажите, что $CE = DF$.