Номер 700, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 700, страница 171.

700. Определите углы треугольника ABC, если:

1) $\angle A + \angle B = 110^\circ$, а $\angle A + \angle C = 85^\circ$;

2) $\angle C - \angle A = 29^\circ$, а $\angle A + \angle C = 121^\circ$.

1)

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Запишем это свойство для треугольника $ABC$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Из условия задачи нам известно, что $\angle A + \angle B = 110^\circ$. Подставим это значение в формулу суммы углов:

$(\angle A + \angle B) + \angle C = 180^\circ$

$110^\circ + \angle C = 180^\circ$

Отсюда найдем угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Теперь, используя второе условие $\angle A + \angle C = 85^\circ$ и найденное значение $\angle C$, найдем угол $\angle A$:

$\angle A + 70^\circ = 85^\circ$

$\angle A = 85^\circ - 70^\circ = 15^\circ$

Наконец, подставим значение $\angle A$ в первое условие $\angle A + \angle B = 110^\circ$, чтобы найти угол $\angle B$:

$15^\circ + \angle B = 110^\circ$

$\angle B = 110^\circ - 15^\circ = 95^\circ$

Проверим: $\angle A + \angle B + \angle C = 15^\circ + 95^\circ + 70^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\angle A = 15^\circ, \angle B = 95^\circ, \angle C = 70^\circ$.

2)

В этом пункте нам дана система из двух уравнений с двумя неизвестными, углами $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle C - \angle A = 29^\circ$

$\angle A + \angle C = 121^\circ$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти угол $\angle C$:

$(\angle C - \angle A) + (\angle A + \angle C) = 29^\circ + 121^\circ$

$2\angle C = 150^\circ$

$\angle C = 150^\circ / 2 = 75^\circ$

Теперь подставим найденное значение $\angle C$ в любое из двух уравнений, например, во второе, чтобы найти $\angle A$:

$\angle A + 75^\circ = 121^\circ$

$\angle A = 121^\circ - 75^\circ = 46^\circ$

Зная углы $\angle A$ и $\angle C$, мы можем найти угол $\angle B$, используя свойство о сумме углов треугольника:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$46^\circ + \angle B + 75^\circ = 180^\circ$

$\angle B + 121^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$

Проверим: $\angle A + \angle B + \angle C = 46^\circ + 59^\circ + 75^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\angle A = 46^\circ, \angle B = 59^\circ, \angle C = 75^\circ$.

700. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, в 2 раза меньше этого основания. Найдите углы данного треугольника.