Номер 681, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 681, страница 170.

681. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной окружности.

Для построения равнобедренного треугольника по заданному отрезку-основанию и отрезку-радиусу вписанной окружности, необходимо выполнить последовательность геометрических построений с помощью циркуля и линейки. Решение задачи состоит из анализа, построения и доказательства.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и радиусом вписанной окружности $r$ построен. Высота $BH$, опущенная на основание $AC$, является также медианой и биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $AC$, а сама высота $BH$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию.

Центр вписанной окружности, инцентр $I$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. В равнобедренном треугольнике инцентр всегда лежит на высоте $BH$. Вписанная окружность касается основания $AC$ в точке $H$, поэтому расстояние от инцентра $I$ до основания равно радиусу, то есть $IH=r$.

Таким образом, мы можем определить положение инцентра $I$: он находится на серединном перпендикуляре к основанию $AC$ на расстоянии $r$ от него. Боковая сторона $AB$ является касательной к вписанной окружности, проведенной из вершины $A$.

Задача сводится к построению касательной из точки $A$ к окружности с центром в найденной точке $I$ и радиусом $r$. Точка касания $K$ обладает свойством: радиус $IK$ перпендикулярен касательной $AK$ ($\angle IKA = 90^\circ$). Это означает, что точка касания $K$ лежит на окружности, построенной на отрезке $AI$ как на диаметре. Пересечение этой вспомогательной окружности и вписанной окружности даст нам искомую точку касания $K$. Вершина $B$ будет лежать на пересечении прямой $AK$ и серединного перпендикуляра к основанию.

Построение

Пусть даны два отрезка: отрезок $a$ (основание) и отрезок $r$ (радиус вписанной окружности).

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AC$, равный по длине отрезку $a$.
2. С помощью циркуля и линейки построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$. Точку пересечения перпендикуляра с отрезком $AC$ обозначим $H$.
3. На перпендикуляре $m$ от точки $H$ отложим отрезок $HI$, равный по длине отрезку $r$. Точка $I$ — это центр будущей вписанной окружности.
4. Проведем отрезок $AI$.
5. Построим окружность, для которой отрезок $AI$ является диаметром. Для этого найдем середину $M$ отрезка $AI$ и из точки $M$ проведем окружность радиусом $MA$.
6. Построенная на диаметре $AI$ окружность пересечет окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r=IH$ в двух точках. Одна из них — точка $H$. Другую точку пересечения обозначим $K$.
7. Проведем луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $K$.
8. Точка пересечения этого луча с прямой $m$ (серединным перпендикуляром) является искомой вершиной $B$.
9. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.

Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

1. По построению, вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, следовательно, $AB = BC$. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный.
2. Основание $AC$ было построено равным заданной длине $a$.
3. Рассмотрим окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r=IH$. По построению, $AC \perp IH$, значит, $AC$ является касательной к этой окружности в точке $H$.
4. Точка $K$ лежит на окружности с диаметром $AI$. Следовательно, угол $\angle AKI$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle AKI = 90^\circ$. Это означает, что прямая $AB$ (проходящая через точки $A$ и $K$) перпендикулярна радиусу $IK$. Значит, $AB$ — касательная к окружности с центром $I$ и радиусом $IK$. Так как $K$ лежит на этой окружности, $IK=IH=r$.
5. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный и $BH$ — его ось симметрии, то сторона $BC$ также является касательной к окружности с центром $I$ и радиусом $r$.
6. Таким образом, окружность с центром $I$ и радиусом $r$ касается всех трех сторон треугольника $ABC$, то есть является вписанной в него.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным треугольником с заданным основанием $a$ и радиусом вписанной окружности $r$.

Ответ: Построенный по вышеописанному алгоритму треугольник $ABC$ является искомым.

681. На продолжении основания $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за точку $B$ отметили точку $M$ такую, что $\angle MBA = 128^\circ$. Найдите угол между боковой стороной $AC$ и биссектрисой угла $ACB$.