Номер 666, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 666, страница 169.

666. Постройте угол, равный:

1) $30^\circ$;

2) $22^\circ30'$;

3) $15^\circ$.

1) 30°

Для построения угла $30^\circ$ необходимо сначала построить угол $60^\circ$, который является углом в равностороннем треугольнике, а затем разделить его пополам с помощью построения биссектрисы.
1. Начертим произвольный луч $OA$.
2. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса $R$. Точку пересечения дуги с лучом $OA$ обозначим $B$.
3. С центром в точке $B$ проведем дугу того же радиуса $R$ до пересечения с первой дугой в точке $C$.
4. Проведем луч $OC$. Угол $\angle{AOC}$ равен $60^\circ$, так как треугольник $\triangle{OBC}$ является равносторонним.
5. Построим биссектрису угла $\angle{AOC}$. Из точек $B$ и $C$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла так, чтобы они пересеклись. Точку их пересечения обозначим $D$.
6. Проведем луч $OD$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle{AOC}$.
В результате построенный угол $\angle{AOD}$ равен $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Ответ: Угол $\angle{AOD}$ является искомым углом в $30^\circ$.

2) 22°30'

Угол $22^\circ30'$ (что равно $22.5^\circ$) можно получить путем последовательного деления прямого угла ($90^\circ$) пополам. Алгоритм построения следующий: строим угол $90^\circ$, затем делим его пополам, получая угол $45^\circ$, и, наконец, делим угол $45^\circ$ еще раз пополам.
1. Построим прямой угол. Для этого начертим произвольную прямую и отметим на ней точку $O$.
2. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
3. Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем $OA$) так, чтобы они пересеклись над прямой в точке $C$.
4. Проведем луч $OC$. Угол $\angle{AOC}$ является прямым, то есть $\angle{AOC} = 90^\circ$.
5. Построим биссектрису угла $\angle{AOC}$ для получения угла в $45^\circ$. Первая дуга, проведенная из центра $O$, пересекает лучи $OA$ и $OC$. Обозначим точку пересечения с лучом $OC$ как $D$. Из точек $A$ и $D$ проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке $E$.
6. Проведем луч $OE$. Этот луч делит угол $\angle{AOC}$ пополам, следовательно, $\angle{AOE} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
7. Построим биссектрису угла $\angle{AOE}$ для получения угла в $22.5^\circ$. Первая дуга с центром в $O$ пересекает луч $OE$ в некоторой точке, назовем ее $F$. Из точек $A$ и $F$ проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle{AOE}$ до их пересечения в точке $G$.
8. Проведем луч $OG$. Этот луч делит угол $\angle{AOE}$ пополам.
В результате построенный угол $\angle{AOG}$ равен $\frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ = 22^\circ30'$.

Ответ: Угол $\angle{AOG}$ является искомым углом в $22^\circ30'$.

3) 15°

Угол $15^\circ$ можно получить, построив сначала угол $60^\circ$, затем разделив его пополам для получения угла $30^\circ$, и затем еще раз разделив полученный угол пополам.
1. Построим угол в $60^\circ$. Начертим луч $OA$. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса $R$, пересекающую луч в точке $B$. С центром в точке $B$ проведем дугу того же радиуса $R$, пересекающую первую дугу в точке $C$. Угол $\angle{AOC}$ равен $60^\circ$.
2. Построим биссектрису угла $\angle{AOC}$ для получения угла в $30^\circ$. Из точек $B$ и $C$ проведем две дуги одинакового радиуса до их пересечения в точке $D$. Проведем луч $OD$. Угол $\angle{AOD}$ равен $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
3. Теперь построим биссектрису угла $\angle{AOD}$. Дуга, проведенная из центра $O$ в шаге 1, пересекает луч $OD$ в некоторой точке, назовем ее $E$.
4. Из точек $B$ (пересечение с лучом $OA$) и $E$ проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle{AOD}$ до их пересечения в точке $F$.
5. Проведем луч $OF$. Этот луч делит угол $\angle{AOD}$ пополам.
Таким образом, угол $\angle{AOF}$ равен половине угла $\angle{AOD}$, то есть $\angle{AOF} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Ответ: Угол $\angle{AOF}$ является искомым углом в $15^\circ$.

666. Точка C – середина отрезка AB, $AB = 10 \text{ см}$. На прямой AB найдите все точки X такие, что $AX + BX + CX = 12 \text{ см}$.