Номер 654, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 654, страница 169.

654. Разделите данный отрезок на четыре равные части.

Чтобы разделить данный отрезок на четыре равные части с помощью циркуля и линейки, необходимо последовательно дважды применить построение для деления отрезка пополам. Этот метод основан на построении серединного перпендикуляра.

Пусть дан отрезок $AB$. Алгоритм построения следующий:

1. Находим середину отрезка $AB$.

   Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса $R$, который должен быть больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$). Эти дуги пересекутся в двух точках по разные стороны от отрезка. Соединив эти две точки прямой линией, мы получим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AB$ является его серединой. Обозначим эту точку как $C$. Таким образом, мы разделили отрезок $AB$ на две равные части: $AC = CB$.

2. Находим середины отрезков $AC$ и $CB$.

   Теперь повторяем описанную выше процедуру для каждого из двух полученных отрезков.

   • Для отрезка $AC$: строим его серединный перпендикуляр. Из точек $A$ и $C$ проводим дуги равного радиуса (больше половины длины $AC$). Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, пересечет отрезок $AC$ в его середине. Обозначим эту точку $D$.

   • Аналогично для отрезка $CB$: строим его серединный перпендикуляр, проводя дуги из точек $C$ и $B$. Точку пересечения с отрезком $CB$ обозначим $E$.

В результате на отрезке $AB$ мы получили три точки $D$, $C$ и $E$. Докажем, что они делят отрезок на четыре равные части.

По построению, $C$ — середина $AB$, значит, $AC = CB = \frac{1}{2}AB$.

Точка $D$ — середина $AC$, значит, $AD = DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{4}AB$.

Точка $E$ — середина $CB$, значит, $CE = EB = \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{4}AB$.

Следовательно, все четыре полученных отрезка равны: $AD = DC = CE = EB$. Задача решена.

Ответ: Исходный отрезок разделен на четыре равные части точками $D$, $C$ и $E$, полученными путем последовательного деления отрезков пополам.

654. Постройте треугольник по стороне, разности углов, прилежащих к этой стороне, и сумме двух других сторон.