Номер 689, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 689, страница 171.

689. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из этих сторон. Сколько решений может иметь задача?

Пусть даны два отрезка $a$ и $b$ и угол $α$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором, например, $AB = b$, $BC = a$ и $\angle A = α$.

Построение

1. Строим луч $AD$.
2. От луча $AD$ откладываем угол, равный данному углу $α$. Получаем луч $AE$.
3. На луче $AE$ откладываем отрезок $AB$, равный данному отрезку $b$.
4. Строим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным данному отрезку $a$.
5. Точки пересечения этой окружности с лучом $AD$ будут третьей вершиной искомого треугольника (вершиной $C$).
6. Соединяем точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Ответ: Построение основано на откладывании данного угла, прилежащей к нему стороны и последующем нахождении третьей вершины как точки пересечения окружности (с центром в конце построенной стороны и радиусом, равным второй данной стороне) и второго луча угла.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи зависит от числа точек пересечения окружности с центром в $B$ и радиусом $a$ с лучом $AD$. Для анализа введем высоту $h$, опущенную из точки $B$ на прямую $AD$. Из прямоугольного треугольника, образованного точкой $B$, ее проекцией на прямую $AD$ и точкой $A$, мы можем выразить эту высоту: $h = AB \cdot \sin(\angle A) = b \sin(α)$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от величины угла $α$ и соотношения сторон $a$ и $b$.

1. Если угол $α$ – острый ($α < 90°$)

• Если $a < h$ (то есть $a < b \sin(α)$), окружность не пересекает луч $AD$. В этом случае решений нет.
• Если $a = h$ (то есть $a = b \sin(α)$), окружность касается луча $AD$ в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение (получается прямоугольный треугольник).
• Если $a > h$ (то есть $a > b \sin(α)$), возможны следующие подслучаи:
  • Если $a < b$, окружность пересечет луч $AD$ в двух точках. Следовательно, задача будет иметь два решения.
  • Если $a \ge b$, окружность пересечет прямую $AD$ в двух точках, но луч $AD$ – только в одной (вторая точка пересечения окажется на продолжении луча $AD$ за точку $A$ или в самой точке $A$, если $a=b$). В этом случае задача имеет одно решение.

2. Если угол $α$ – прямой или тупой ($α \ge 90°$)

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Поэтому для существования треугольника необходимо, чтобы сторона $a$, лежащая против угла $α$, была строго больше стороны $b$ ($a > b$).
• Если $a \le b$, то построить треугольник невозможно. Решений нет.
• Если $a > b$, окружность с центром в $B$ и радиусом $a$ пересечет луч $AD$ ровно в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения длин данных сторон и величины данного угла.

689. В треугольнике ABC известно, что $AB = BC$, $BD$ – медиана. Периметр треугольника ABC равен 50 см, а треугольника ABD – 40 см. Найдите длину медианы BD.

Рис. 343