Номер 10, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Расстояние от центра $\text{O}$ до хорды $\text{AB}$ равно 15 см. Угол $OAB$ равен $45^\circ$. Точка $\text{C}$ принадлежит хорде $\text{AB}$, причем $AC = 4 BC$. Найдите длину отрезка $\text{AC}$.

А) 12 см

В) 24 см

С) 40 см

D) 18 см

Пусть O - центр окружности, а AB - хорда. Расстояние от центра O до хорды AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AB. Обозначим основание этого перпендикуляра как H. Таким образом, отрезок $OH$ перпендикулярен хорде $AB$, и по условию его длина составляет $OH = 15$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAH$. Он является прямоугольным, так как $OH \perp AB$, следовательно, $\angle OHA = 90^\circ$. По условию, угол $\angle OAB$ (что то же самое, что и $\angle OAH$) равен $45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $\triangle OAH$, угол $\angle AOH$. Он равен: $180^\circ - \angle OHA - \angle OAH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle OAH$ два угла равны ($\angle OAH = \angle AOH = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AH = OH$. Так как $OH = 15$ см, то и $AH = 15$ см.

Согласно свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. То есть, точка H является серединой хорды AB. Это значит, что $AH = HB = 15$ см. Длина всей хорды AB равна сумме длин ее частей: $AB = AH + HB$. Подставив значения, получим: $AB = 15 + 15 = 30$ см.

По условию, точка C принадлежит хорде AB и делит ее на отрезки AC и BC таким образом, что $AC = 4 \times BC$. Также очевидно, что $AB = AC + BC$. Подставим известную длину хорды AB: $30 = AC + BC$.

Мы получили систему из двух уравнений: $AC = 4 \times BC$ и $30 = AC + BC$. Выразим BC из первого уравнения: $BC = \frac{AC}{4}$. Подставим это выражение во второе уравнение: $30 = AC + \frac{AC}{4}$.

Решим полученное уравнение относительно AC. Приведем правую часть к общему знаменателю: $30 = \frac{4AC + AC}{4}$, что равносильно $30 = \frac{5AC}{4}$. Умножим обе части на 4: $120 = 5AC$. Наконец, разделим обе части на 5, чтобы найти AC: $AC = \frac{120}{5} = 24$ см.

Ответ: 24 см.