Номер 8, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. К окружности с центром $\text{O}$ из точки $\text{C}$ проведена касательная $\text{CE}$. Найдите радиус окружности, если угол $COE$ равен $60^{\circ}$ и расстояние между точками $\text{O}$ и $\text{C}$ равно 18 см.

А) 4,5 см

В) 6 см

С) 9 см

D) 12 см

Рассмотрим треугольник $COE$. По условию задачи, $CE$ является касательной к окружности с центром в точке $O$, проведенной в точку $E$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Это означает, что радиус $OE$ перпендикулярен отрезку $CE$. Следовательно, угол $\angle OEC$ является прямым, и его величина составляет $90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle COE$ — прямоугольный, где $OC$ является гипотенузой, а $OE$ и $CE$ — катетами. Радиус окружности, который нам нужно найти, — это длина катета $OE$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle COE$ нам известны:

• длина гипотенузы $OC = 18$ см;
• величина острого угла $\angle COE = 60^\circ$.

Для нахождения длины катета $OE$, прилежащего к углу $\angle COE$, воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle COE) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OE}{OC}$

Подставим известные значения в формулу:

$\cos(60^\circ) = \frac{OE}{18}$

Мы знаем, что значение $\cos(60^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} = \frac{OE}{18}$

Выразим $OE$ из этого уравнения:

$OE = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Таким образом, радиус окружности равен 9 см.

Альтернативное решение:

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $\triangle COE$:

$\angle OCE = 180^\circ - \angle OEC - \angle COE = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет $OE$ лежит напротив угла $\angle OCE = 30^\circ$.

Следовательно, $OE = \frac{1}{2} OC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: C) 9 см.