Номер 6, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Центр окружности, описанной около любого треугольника – это ...

A) Точка пересечения высот

B) Точка пересечения биссектрис

C) Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

D) Точка пересечения медиан

6. Для того чтобы определить, что является центром окружности, описанной около треугольника, необходимо проанализировать его свойства.

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Центр этой окружности, по определению, должен быть равноудален от каждой из трех вершин. Если мы обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, а центр описанной окружности как $O$, то расстояния от центра до вершин будут равны радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Теперь рассмотрим геометрическое свойство точек, равноудаленных от двух заданных точек. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка (например, от вершин $A$ и $B$), является серединным перпендикуляром к этому отрезку (в данном случае, к стороне $AB$).

Поскольку центр описанной окружности $O$ равноудален от вершин $A$ и $B$ ($OA=OB$), он обязан лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Аналогично, из равенства $OB=OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Следовательно, центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Это утверждение соответствует варианту C.

Проанализируем остальные варианты, чтобы подтвердить их некорректность:

А) Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

В) Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной окружности (инцентром), так как она равноудалена от сторон треугольника, а не от его вершин.

D) Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс.

Таким образом, единственно верным является вариант C.

Ответ: C