Номер 9, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Длины хорд $\text{AB}$ и $\text{AC}$ окружности равны. Угол между ними равен $120^\circ$. Диаметр окружности равен 24 см. Найдите сумму длин хорд $\text{AB}$ и $\text{AC}$?

A) 12 см

B) 24 см

C) 48 см

D) 18 см

По условию задачи, дан диаметр окружности $D = 24$ см. Радиус окружности $R$ в два раза меньше диаметра, следовательно:

$R = D/2 = 24/2 = 12$ см.

Хорды $AB$ и $AC$ имеют общую точку $A$ и равны по длине. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, образуя вписанный треугольник $ABC$.

Поскольку стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны, этот треугольник является равнобедренным. Угол при вершине $\angle BAC$ равен $120^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой. Найдем их, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \angle BAC) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Для нахождения длины хорды (стороны вписанного треугольника) можно воспользоваться обобщенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$a / \sin(\alpha) = 2R$

Применим эту теорему для стороны $AB$ и противолежащего ей угла $\angle ACB$:

$AB / \sin(\angle ACB) = 2R$

Подставим известные значения: $R = 12$ см и $\angle ACB = 30^\circ$.

$AB / \sin(30^\circ) = 2 \cdot 12$

Так как значение $\sin(30^\circ) = 1/2$, получаем уравнение:

$AB / (1/2) = 24$

Отсюда находим длину хорды $AB$:

$AB = 24 \cdot (1/2) = 12$ см.

По условию задачи, длины хорд $AB$ и $AC$ равны, значит $AC = 12$ см.

Теперь найдем сумму длин этих хорд:

$AB + AC = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} = 24$ см.

Ответ: 24 см