Номер 10, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $\angle A = 15^\circ$, $AB = BC = 6$ см. Найдите высоту треугольника, опущенную из вершины C.

A) 6 см

B) 12 см

C) 3 см

D) 2 см

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 6$ см. Это означает, что $AC$ является основанием, а углы при основании равны.

Нам дан угол при основании $\angle A = 15^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 15^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол при вершине $B$ (угол между боковыми сторонами):

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Требуется найти высоту треугольника, опущенную из вершины $C$. Эта высота будет перпендикулярна прямой, содержащей сторону $AB$. Обозначим эту высоту как $CH$, где $H$ — основание перпендикуляра. Поскольку угол $\angle ABC = 150^\circ$ является тупым, точка $H$ будет лежать на продолжении стороны $AB$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$. В этом треугольнике: гипотенуза $BC = 6$ см, катет $CH$ — искомая высота.

Угол $\angle CBH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle CBH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $CBH$ катет $CH$ лежит напротив угла $\angle CBH = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Следовательно, длина высоты $CH$ равна:

$CH = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Альтернативное решение через площадь:

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(150^\circ)$.

Поскольку $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то

$S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см$^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через высоту $CH$, опущенную на сторону $AB$: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

$9 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot CH$

$9 = 3 \cdot CH$

$CH = 3$ см.

Ответ: 3 см.