Номер 6, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Один из внешних углов треугольника в 4 раза больше другого внешнего угла этого треугольника. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол, не смежный с указанными внешними углами, равен $60^\circ$.

A) $132^\circ$

B) $136^\circ$

C) $144^\circ$

D) $148^\circ$

Решение:

Пусть внутренние углы треугольника будут $A$, $B$ и $C$. Соответствующие им внешние углы обозначим как $extA$, $extB$ и $extC$.

По условию, внутренний угол, не смежный с двумя указанными внешними углами, равен $60°$. Пусть указанные внешние углы — это $extA$ и $extB$. Тогда не смежный с ними внутренний угол — это угол $C$. Таким образом, $C = 60°$.

Внешний угол треугольника является смежным с соответствующим внутренним углом, и их сумма равна $180°$. Мы можем найти третий внешний угол $extC$:

$extC = 180° - C = 180° - 60° = 120°$.

Известно, что сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360°$.

$extA + extB + extC = 360°$

Подставим известное значение $extC$:

$extA + extB + 120° = 360°$

Отсюда найдем сумму двух внешних углов, упомянутых в задаче:

$extA + extB = 360° - 120° = 240°$.

По условию, один из этих внешних углов в 4 раза больше другого. Пусть $extA = 4 \cdot extB$. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $extA + extB = 240°$

2) $extA = 4 \cdot extB$

Подставим второе уравнение в первое:

$4 \cdot extB + extB = 240°$

$5 \cdot extB = 240°$

$extB = \frac{240°}{5} = 48°$

Теперь найдем величину второго, большего угла:

$extA = 4 \cdot extB = 4 \cdot 48° = 192°$

Задача просит найти разность между этими внешними углами:

Разность $= extA - extB = 192° - 48° = 144°$.

Ответ: 144°.