Номер 2, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2. Две прямые $\rho$ и $\text{q}$ параллельны. На них выбраны точки $\text{A}$ и $\text{B}$ соответственно. Чему равно расстояние между точками $\text{A}$ и $\text{B}$ по сравнению с расстоянием между прямыми $\rho$ и $\text{q}$?

A) Всегда равно расстоянию между прямыми

B) Может быть больше или равно расстоянию между прямыми

C) Всегда больше

D) Равно нулю

Пусть $h$ — расстояние между параллельными прямыми $p$ и $q$. По определению, расстояние между параллельными прямыми является длиной перпендикуляра, проведенного из любой точки одной прямой к другой, и представляет собой кратчайшее возможное расстояние между точками на этих прямых.

Даны точка $A$ на прямой $p$ и точка $B$ на прямой $q$. Чтобы сравнить расстояние $|AB|$ с расстоянием $h$, опустим из точки $A$ перпендикуляр на прямую $q$. Пусть $B'$ — основание этого перпендикуляра. Тогда, по определению, длина отрезка $AB'$ равна расстоянию между прямыми, то есть $|AB'| = h$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABB'$. Этот треугольник является прямоугольным, поскольку $AB'$ — перпендикуляр к прямой $q$, на которой лежат точки $B$ и $B'$. Угол $\angle AB'B$ равен $90^\circ$. В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза (расстояние между точками $A$ и $B$).

• $AB'$ — катет, равный расстоянию между прямыми ($|AB'| = h$).

• $BB'$ — второй катет (расстояние между точкой $B$ и основанием перпендикуляра $B'$).

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $|AB|^2 = |AB'|^2 + |BB'|^2$

Подставим $|AB'| = h$: $|AB|^2 = h^2 + |BB'|^2$

Поскольку $|BB'|$ — это расстояние, его значение всегда неотрицательно ($|BB'| \geq 0$), следовательно, квадрат этого значения также неотрицателен: $|BB'|^2 \geq 0$.

Отсюда следует, что $|AB|^2 = h^2 + |BB'|^2 \geq h^2$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, мы можем заключить, что $|AB| \geq h$.

Это неравенство означает, что расстояние между точками $A$ и $B$ всегда больше или равно расстоянию между прямыми $p$ и $q$.

- Равенство $|AB| = h$ достигается только в том случае, когда $|BB'| = 0$, то есть когда точки $B$ и $B'$ совпадают. Это происходит, когда отрезок $AB$ сам является перпендикуляром к прямым.

- Неравенство $|AB| > h$ выполняется, когда $|BB'| > 0$, то есть когда отрезок $AB$ не перпендикулярен прямым.

Следовательно, расстояние между точками $A$ и $B$ может быть как равным расстоянию между прямыми, так и большим него. Это в точности соответствует варианту В).

Ответ: В) Может быть больше или равно расстоянию между прямыми