Номер 8, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Какие из следующих утверждений являются верными?

1) Если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают, то треугольник не является равнобедренным.

2) Если биссектриса треугольника делит противоположную сторону на равные отрезки, то треугольник равнобедренный.

3) Если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы.

4) Если треугольник равнобедренный, то наименьшая из сторон является его основанием.

A) 2; 3

B) 1; 2; 3

C) 2; 4

D) 1; 3; 4

1) Если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают, то треугольник не является равнобедренным.

Утверждение неверно. В качестве контрпримера можно рассмотреть равнобедренный треугольник $ABC$ с равными боковыми сторонами $AB=BC$ и основанием $AC$. В этом треугольнике медиана и высота, проведенные из вершины $A$ к боковой стороне $BC$, в общем случае не совпадают (это происходит только в равностороннем треугольнике). Однако сам треугольник является равнобедренным. Таким образом, тот факт, что медиана и высота, проведенные из одной вершины, не совпадают, не означает, что треугольник не является равнобедренным.

Ответ: неверно.

2) Если биссектриса треугольника делит противоположную сторону на равные отрезки, то треугольник равнобедренный.

Утверждение верно. Если биссектриса делит противоположную сторону на равные отрезки, она также является медианой. Треугольник, в котором биссектриса, проведенная из какой-либо вершины, является и медианой, — равнобедренный. Это можно доказать, используя свойство биссектрисы. Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$ так, что $BD = DC$. По свойству биссектрисы: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$. Поскольку $BD = DC$, то $\frac{BD}{DC}=1$, и, следовательно, $\frac{AB}{AC}=1$, откуда $AB=AC$. Это доказывает, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Ответ: верно.

3) Если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы.

Утверждение верно. В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. В силу симметрии, высота, биссектриса и медиана, проведенные из любой вершины, совпадают, то есть являются одним и тем же отрезком. Также из-за равенства сторон и углов все высоты в треугольнике равны между собой, и все биссектрисы равны между собой. Так как для каждой вершины высота и биссектриса — это один и тот же отрезок, их длины равны. Следовательно, длина любой высоты в равностороннем треугольнике равна длине любой его биссектрисы.

Ответ: верно.

4) Если треугольник равнобедренный, то наименьшая из сторон является его основанием.

Утверждение неверно. Основание равнобедренного треугольника может быть как меньше боковых сторон, так и больше их. Рассмотрим в качестве контрпримера треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 15 см. Такой треугольник существует, так как для него выполняется неравенство треугольника ($10+10>15$). Он является равнобедренным. Однако его основание (15 см) является наибольшей стороной, а не наименьшей. Это опровергает данное утверждение.

Ответ: неверно.