Номер 5, страница 108 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5. Прямая $\text{AB}$ делит плоскость на две полуплоскости. Из точек $\text{C}$ и $\text{D}$, расположенных в разных полуплоскостях, проведены равные отрезки, при этом $AD = BC$, $∠BAD = ∠ABC$.

Какие высказывания верны:

1) $Δ CAD = Δ BDA$

2) $∠DBA = ∠ CAB$

3) $Δ BAD = Δ BAC$

4) $Δ ADB = Δ BCA$

A) 2; 4

B) 2; 3; 4

C) 1; 4

D) 1; 2; 3; 4

Для решения задачи проанализируем данные и определим, какие из предложенных высказываний являются верными. По условию задачи, прямая $AB$ делит плоскость на две полуплоскости, в которых лежат точки $C$ и $D$. Нам даны следующие равенства: $AD = BC$ и $∠BAD = ∠ABC$.

Рассмотрим два треугольника: $ΔBAD$ и $ΔABC$. В этих треугольниках сторона $AB$ является общей. Также, по условию, $AD = BC$ и $∠BAD = ∠ABC$. Таким образом, треугольники $ΔBAD$ и $ΔABC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). То есть, $ΔBAD = ΔABC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Во-первых, равны соответствующие стороны: $BD = AC$. Во-вторых, равны соответствующие углы: $∠ABD = ∠BAC$ и $∠ADB = ∠BCA$.

Теперь проверим истинность каждого из предложенных высказываний.

1) Δ CAD = Δ BDA

Рассмотрим треугольники $ΔCAD$ и $ΔBDA$. У них есть общая сторона $AD$. Из ранее доказанного мы знаем, что $AC = BD$. Чтобы доказать равенство $ΔCAD = ΔBDA$, нам не хватает данных. Например, для равенства по третьему признаку (по трем сторонам) потребовалось бы равенство третьих сторон $CD = BA$, что не следует из условия задачи. Следовательно, это высказывание в общем случае неверно.

2) ∠DBA = ∠CAB

Угол $∠DBA$ также можно записать как $∠ABD$, а $∠CAB$ как $∠BAC$. Как было показано выше, из равенства треугольников $ΔBAD = ΔABC$ следует равенство их соответствующих углов $∠ABD = ∠BAC$. Следовательно, это высказывание верно.

3) Δ BAD = Δ BAC

Мы доказали это равенство в самом начале, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Треугольник $ΔBAC$ — это тот же самый треугольник, что и $ΔABC$. Следовательно, $ΔBAD = ΔABC$ (или $ΔBAC$) — это верное высказывание.

4) Δ ADB = Δ BCA

Это равенство является следствием доказанного факта $ΔBAD = ΔABC$. Оно представляет собой ту же конгруэнтность, но с другим порядком записи вершин: $A \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow A$. Из $ΔBAD = ΔABC$ мы имеем $AD = BC$, $DB = CA$, и $AB = BA$. Все соответствующие элементы равны, значит, равенство $ΔADB = ΔBCA$ верно. Следовательно, это высказывание верно.

Таким образом, верными являются высказывания 2, 3 и 4. Этому набору соответствует вариант ответа B.

Ответ: B) 2; 3; 4