Номер 7, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. В треугольниках MPK и BDE проведены биссектрисы PC и DN, причем $\triangle MPC = \triangle BDN$. Найдите отрезок NE, если $MK = 8$ см, а BN больше NE на 2,4 см.

A) 2,6 см

B) 2,8 см

C) 5,2 см

D) 5,6 см

По условию задачи даны треугольники $MPK$ и $BDE$. В них проведены биссектрисы $PC$ и $DN$ соответственно. Также дано, что треугольники $\triangle MPC$ и $\triangle BDN$ равны.

Из равенства треугольников $\triangle MPC = \triangle BDN$ следует равенство их соответствующих элементов (сторон и углов):

• $MP = BD$
• $MC = BN$
• $\angle M = \angle B$
• $\angle MPC = \angle BDN$

Так как $PC$ — биссектриса угла $\angle MPK$, то она делит этот угол пополам, то есть $\angle MPK = 2 \cdot \angle MPC$.

Аналогично, так как $DN$ — биссектриса угла $\angle BDE$, то $\angle BDE = 2 \cdot \angle BDN$.

Поскольку из равенства треугольников мы знаем, что $\angle MPC = \angle BDN$, то, умножив обе части на 2, получим:

$2 \cdot \angle MPC = 2 \cdot \angle BDN$, что означает $\angle MPK = \angle BDE$.

Теперь сравним исходные треугольники $\triangle MPK$ и $\triangle BDE$. Мы установили, что у них:

1. Сторона $MP$ равна стороне $BD$.

2. Прилежащий к ней угол $\angle M$ равен углу $\angle B$.

3. Другой прилежащий угол $\angle MPK$ равен углу $\angle BDE$.

Следовательно, треугольники $\triangle MPK$ и $\triangle BDE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $\triangle MPK = \triangle BDE$ следует, что их соответствующие стороны равны. В частности, сторона $MK$ равна стороне $BE$:

$MK = BE$.

По условию $MK = 8$ см, значит, и $BE = 8$ см.

Точка $N$ лежит на стороне $BE$, поэтому $BE = BN + NE$. Таким образом, мы имеем уравнение:

$BN + NE = 8$.

Также из условия известно, что $BN$ больше $NE$ на 2,4 см. Это можно записать как:

$BN = NE + 2.4$.

Теперь решим систему из двух уравнений. Подставим второе уравнение в первое:

$(NE + 2.4) + NE = 8$

$2 \cdot NE + 2.4 = 8$

$2 \cdot NE = 8 - 2.4$

$2 \cdot NE = 5.6$

$NE = 5.6 / 2$

$NE = 2.8$ см.

Таким образом, длина отрезка $NE$ составляет 2,8 см. Это соответствует варианту B).

Ответ: $2,8$ см