Номер 2, страница 108 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = AC$) проведена высота $\text{AD}$. Какое следствие часто формулируют на основе признака равенства треугольников?

A) $BD = DC$ (эта высота является и медианой)

B) $\angle B = \angle C = 90^\circ$

C) Треугольник не может быть построен

D) $\text{BC}$ не пересекает

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = AC$. Из вершины $A$ к основанию $BC$ проведена высота $AD$. Это означает, что отрезок $AD$ перпендикулярен основанию $BC$, и, следовательно, углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются прямыми: $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$.

Высота $AD$ разделяет исходный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$.

Чтобы найти следствие, основанное на признаке равенства треугольников, сравним эти два треугольника.

• $AB = AC$ — это гипотенузы, они равны по условию, так как треугольник $ABC$ равнобедренный.
• $AD$ — это общий катет для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников ($\triangle ADB = \triangle ADC$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности:

• $BD = DC$. Так как точка $D$ делит основание $BC$ пополам, то высота $AD$ является также и медианой.
• $\angle BAD = \angle CAD$. Это означает, что высота $AD$ является также и биссектрисой угла $\angle BAC$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов на основе этого вывода.

A) BD = DC (эта высота является и медианой)

Это утверждение является прямым и ключевым следствием из доказанного равенства треугольников $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$. Это известное свойство равнобедренного треугольника: высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

B) ∠B = ∠C = 90°

Это неверно. Сумма двух этих углов уже составила бы $180^\circ$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех углов равна $180^\circ$.

С) Треугольник не может быть построен

Это неверно. Равнобедренный треугольник — одна из основных геометрических фигур, и его построение, разумеется, возможно.

D) ВС не пересекает

Это утверждение некорректно и лишено смысла в данном контексте. Высота $AD$ по определению проводится к стороне $BC$, а значит, по построению, пересекает ее в точке $D$.

Таким образом, единственно верным следствием, которое часто формулируют на основе признака равенства треугольников для данной конфигурации, является то, что высота является и медианой.

Ответ: A