Номер 6, страница 107 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. При пересечении двух прямых образовались вертикальные углы. Один из углов равен $90^\circ$. Чему равны остальные три угла?

A) $90^\circ$

B) $45^\circ$

C) $90^\circ$, $90^\circ$ и $180^\circ$

D) Два из них по $45^\circ$, один $- 90^\circ$

При пересечении двух прямых образуется четыре угла. Эти углы попарно являются вертикальными и смежными. Воспользуемся их свойствами для решения задачи.

По условию, один из углов равен $90°$. Обозначим его как $\angle 1$.

$\angle 1 = 90°$

Поиск вертикального угла

Угол, расположенный напротив $\angle 1$ (назовем его $\angle 3$), является ему вертикальным. Свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны.

$\angle 3 = \angle 1 = 90°$.

Таким образом, мы нашли один из трех оставшихся углов, он равен $90°$.

Поиск смежных углов

Углы, которые имеют общую сторону, а две другие их стороны вместе образуют прямую линию, называются смежными. Сумма смежных углов всегда равна $180°$. Угол $\angle 1$ имеет два смежных с ним угла. Найдем один из них (назовем его $\angle 2$).

$\angle 1 + \angle 2 = 180°$

Подставим известное значение $\angle 1$:

$90° + \angle 2 = 180°$

$\angle 2 = 180° - 90° = 90°$.

Мы нашли второй угол, он также равен $90°$.

Поиск последнего угла

Последний неизвестный угол, $\angle 4$, является вертикальным для угла $\angle 2$. Следовательно, он равен $\angle 2$.

$\angle 4 = \angle 2 = 90°$.

Также можно было найти $\angle 4$ как смежный с $\angle 1$ или $\angle 3$. Например:

$\angle 3 + \angle 4 = 180° \implies 90° + \angle 4 = 180° \implies \angle 4 = 90°$.

В результате мы получили, что все четыре угла, образовавшиеся при пересечении прямых, равны $90°$. Это особый случай пересечения, когда прямые перпендикулярны. Три угла, которые требовалось найти, равны $90°$, $90°$ и $90°$.

Ответ: А) 90°