Номер 5.34, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.34*. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.

Для решения задачи построения треугольника по стороне, разности прилежащих к ней углов и сумме двух других сторон, используется метод вспомогательного треугольника. Решение включает в себя анализ, описание построения, доказательство и исследование условий существования решения.

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим данную сторону $AB = c$, прилежащие к ней углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, и сумму двух других сторон $AC + BC = s$. Пусть нам дана разность углов $\delta = |\alpha - \beta|$. Для определённости предположим, что $\alpha > \beta$, тогда $\delta = \alpha - \beta$.

Продолжим сторону $AC$ за точку $C$ и отложим на луче $AC$ отрезок $AD = s$. Поскольку $AD = AC + CD$ и $s = AC + BC$, мы получаем, что $CD = BC$. Это значит, что треугольник $BCD$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $BCD$ углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$. Угол $\angle ACB$ треугольника $ABC$ является внешним для треугольника $BCD$, поэтому $\angle ACB = \angle CBD + \angle CDB = 2\angle CDB$. В то же время, из треугольника $ABC$ имеем $\angle ACB = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Следовательно, $2\angle CDB = 180^\circ - (\alpha + \beta)$, откуда $\angle CDB = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. В нём $AB = c$ и $AD = s$. Угол $\angle ABD$ можно выразить через известные величины: $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \beta + \angle CDB = \beta + (90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}) = 90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.

Таким образом, анализ сводит исходную задачу к построению треугольника $ABD$ по двум сторонам ($c$ и $s$) и углу, противолежащему одной из них ($\angle ABD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$). После нахождения точки $D$, вершина $C$ определяется как пересечение отрезка $AD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Пусть даны отрезок $c$ (сторона), отрезок $s$ (сумма двух других сторон) и угол $\delta$ (разность прилежащих углов).

1. Построим угол, равный $90^\circ - \frac{\delta}{2}$. Обозначим его вершину буквой $B$.
2. На одном из лучей этого угла отложим отрезок $AB = c$.
3. Из точки $A$ как из центра проведём окружность радиусом $s$.
4. Точку пересечения этой окружности со вторым лучом угла, построенного в шаге 1, обозначим $D$. Соединим точки $A$ и $D$.
5. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AD$ есть искомая вершина $C$.
7. Соединив точки $A, B, C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Убедимся, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

• Сторона $AB$ имеет длину $c$ по построению.
• Поскольку точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, то $BC = CD$. Точка $C$ также лежит на отрезке $AD$, поэтому $AC + BC = AC + CD = AD$. По построению $AD=s$. Следовательно, сумма сторон $AC$ и $BC$ равна $s$.
• Пусть $\angle CAB = \alpha'$ и $\angle CBA = \beta'$. Докажем, что $|\alpha' - \beta'| = \delta$. В треугольнике $ABD$ по построению $\angle ABD = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$. В равнобедренном треугольнике $BCD$ имеем $\angle CBD = \angle CDB$. Тогда $\beta' = \angle CBA = \angle ABD - \angle CBD = (90^\circ - \frac{\delta}{2}) - \angle CDB$. Из суммы углов треугольника $ABD$ ($ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ $) получаем $\alpha' + (90^\circ - \frac{\delta}{2}) + \angle CDB = 180^\circ$, откуда $\angle CDB = 90^\circ - \alpha' + \frac{\delta}{2}$. Подставив это в выражение для $\beta'$, находим: $\beta' = (90^\circ - \frac{\delta}{2}) - (90^\circ - \alpha' + \frac{\delta}{2}) = \alpha' - \delta$. Отсюда $\alpha' - \beta' = \delta$, что и требовалось доказать.

Задача имеет решение, если описанное построение выполнимо.

Построение треугольника $ABD$ возможно, если окружность с центром $A$ и радиусом $s$ пересекает луч, образующий с $AB$ угол $90^\circ - \frac{\delta}{2}$. Это происходит, когда $s$ не меньше расстояния от точки $A$ до этого луча, т.е. $s \ge c \sin(90^\circ - \frac{\delta}{2}) = c \cos(\frac{\delta}{2})$.

Однако для существования самого треугольника $ABC$ необходимо выполнение неравенства треугольника $AC + BC > AB$, что означает $s > c$. Поскольку $\cos(\frac{\delta}{2}) \le 1$, то условие $s > c$ автоматически обеспечивает выполнение условия $s \ge c \cos(\frac{\delta}{2})$ (кроме случая $\delta=0$, который не рассматривается, так как $\delta$ — разность углов невырожденного треугольника).

Таким образом, необходимым и достаточным условием для существования решения является $s > c$ (при $0 < \delta < 180^\circ$). При выполнении этого условия задача имеет единственное решение (если считать симметричные треугольники, получающиеся при выборе $\beta > \alpha$, одним и тем же решением).

Ответ: План построения треугольника изложен в разделе "Построение". Задача имеет единственное решение при условии, что данная сумма сторон $s$ строго больше данной стороны $c$.