Номер 5.33, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.33. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

Задача состоит в том, чтобы построить треугольник, зная его периметр $P$ и два угла, скажем $α$ и $β$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$, а углы при вершинах $B$ и $C$ равны $α$ и $β$ соответственно ($∠B = α$, $∠C = β$). Периметр треугольника равен $P = a + b + c$.

Для того чтобы использовать периметр, "развернем" треугольник на одной прямой. На прямой отложим отрезок $DE$ длиной, равной периметру $P$. Мы хотим найти на этом отрезке точки $B$ и $C$ так, чтобы $DE = DB + BC + CE = c + a + b$.

Продолжим сторону $BC$ в обе стороны. На луче $CB$ отложим отрезок $BD$, равный стороне $AB = c$. На луче $BC$ отложим отрезок $CE$, равный стороне $AC = b$. В результате получим отрезок $DE$ на прямой, содержащей сторону $BC$. Длина этого отрезка $DE = DB + BC + CE = c + a + b = P$.

Теперь рассмотрим треугольники $ADB$ и $ACE$.

В треугольнике $ADB$ по построению $AB = DB$, значит, он равнобедренный. Углы при основании $AD$ равны: $∠D = ∠DAB$. Угол $ABC$ (равный $α$) является внешним углом для треугольника $ADB$ при вершине $B$. По свойству внешнего угла, $∠ABC = ∠D + ∠DAB$. Так как $∠D = ∠DAB$, получаем $α = 2∠D$, откуда $∠D = α/2$.

Аналогично, в треугольнике $ACE$ по построению $AC = CE$, он также равнобедренный. Углы при основании $AE$ равны: $∠E = ∠CAE$. Угол $ACB$ (равный $β$) является внешним углом для треугольника $ACE$ при вершине $C$. По свойству внешнего угла, $∠ACB = ∠E + ∠CAE$. Так как $∠E = ∠CAE$, получаем $β = 2∠E$, откуда $∠E = β/2$.

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ADE$. Мы можем построить его по стороне $DE=P$ и двум прилежащим к ней углам: $∠D = α/2$ и $∠E = β/2$.

После построения треугольника $ADE$, нам нужно найти вершины $B$ и $C$. Поскольку $AB=DB$, точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Также точка $B$ лежит на отрезке $DE$. Следовательно, $B$ — это точка пересечения серединного перпендикуляра к $AD$ и отрезка $DE$.

Аналогично, так как $AC=CE$, точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $E$ и лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$. Точка $C$ также лежит на отрезке $DE$. Следовательно, $C$ — это точка пересечения серединного перпендикуляра к $AE$ и отрезка $DE$.

Построение

Пусть дан отрезок, равный периметру $P$, и два угла $α$ и $β$.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $DE$, длина которого равна $P$.
2. Строим биссектрисы данных углов $α$ и $β$, чтобы получить углы $α/2$ и $β/2$.
3. От луча $DE$ в одной полуплоскости строим угол, равный $α/2$, с вершиной в точке $D$.
4. От луча $ED$ в той же полуплоскости строим угол, равный $β/2$, с вершиной в точке $E$.
5. Лучи, построенные в пунктах 3 и 4, пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $A$. Мы получили треугольник $ADE$.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначаем $B$.
7. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначаем $C$.
8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

По построению точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Следовательно, $AB = DB$. Треугольник $ADB$ — равнобедренный, и $∠DAB = ∠D = α/2$. Угол $ABC$ является внешним для треугольника $ADB$, поэтому $∠ABC = ∠D + ∠DAB = α/2 + α/2 = α$.

Аналогично, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$. Следовательно, $AC = CE$. Треугольник $ACE$ — равнобедренный, и $∠CAE = ∠E = β/2$. Угол $ACB$ является внешним для треугольника $ACE$, поэтому $∠ACB = ∠E + ∠CAE = β/2 + β/2 = β$.

Таким образом, два угла построенного треугольника $ABC$ равны $α$ и $β$.

Найдем периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. Так как мы доказали, что $AB = DB$ и $AC = CE$, то $P_{ABC} = DB + BC + CE$. Поскольку точки $D, B, C, E$ лежат на одной прямой в указанном порядке, сумма $DB + BC + CE$ равна длине отрезка $DE$. По построению длина $DE$ равна заданному периметру $P$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ имеет заданные углы и периметр.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить треугольник $ADE$. Для этого необходимо, чтобы сумма углов при основании $DE$ была меньше 180°, то есть $α/2 + β/2 < 180°$, что эквивалентно $α + β < 360°$. Однако, $α$ и $β$ должны быть углами одного треугольника, поэтому их сумма должна быть меньше 180° ($α + β < 180°$). Если это условие выполняется, то $α/2 + β/2 < 90°$, и лучи, выходящие из точек $D$ и $E$, обязательно пересекутся. При этом построенный треугольник $ADE$ будет единственным (с точностью до расположения), а значит и искомый треугольник $ABC$ также будет единственным.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму и всегда возможно, если сумма данных углов меньше $180°$.