Номер 5.27, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.27. Постройте треугольник $ABC$ по сторонам $\text{AC}$, $\text{BC}$ и медиане $\text{BN}$.

Для построения треугольника $ABC$ по заданным сторонам $AC$, $BC$ и медиане $BN$ необходимо провести анализ задачи, на основе которого будет составлен план построения.

Медиана $BN$ по определению соединяет вершину $B$ с серединой противоположной стороны $AC$. Обозначим эту середину как точку $N$. Таким образом, точка $N$ делит отрезок $AC$ пополам, и выполняется равенство $AN = NC = \frac{1}{2}AC$.

Рассмотрим треугольник $BNC$. Длины всех его трех сторон нам известны или могут быть легко найдены:

• $BC$ — длина этой стороны дана в условии.
• $BN$ — длина медианы также дана в условии.
• $NC$ — длина этого отрезка равна половине длины стороны $AC$, которая дана в условии.

Так как мы знаем длины всех трех сторон треугольника $BNC$, мы можем построить его с помощью циркуля и линейки по трем сторонам. Построив треугольник $BNC$, мы определим положение вершин $B$, $C$ и точки $N$.

После этого остается найти вершину $A$. Мы знаем, что точка $N$ является серединой отрезка $AC$. Это значит, что точки $A$, $N$, $C$ лежат на одной прямой, и $AN = NC$. Следовательно, чтобы найти точку $A$, нужно на прямой, проходящей через точки $C$ и $N$, отложить от точки $N$ отрезок $NA$, равный $NC$, в направлении, противоположном точке $C$.

На основе этого анализа можно сформулировать следующий алгоритм построения:

1. Построить отрезок $NC$, длина которого равна половине длины данной стороны $AC$. Это можно сделать, например, построив отрезок, равный $AC$, и найдя его середину $N$ путем построения серединного перпендикуляра.
2. Построить треугольник $BNC$ по трем сторонам: $NC$, данной стороне $BC$ и данной медиане $BN$. Для этого из точки $C$ провести дугу окружности радиусом $BC$, а из точки $N$ — дугу окружности радиусом $BN$. Точка пересечения этих дуг будет вершиной $B$.
3. Соединить точки $B$, $N$ и $C$.
4. Провести прямую через точки $C$ и $N$.
5. На этой прямой от точки $N$ отложить отрезок $NA$, равный отрезку $NC$, так, чтобы точка $N$ лежала между точками $A$ и $C$.
6. Соединить точки $A$ и $B$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым. В нем по построению $BC$ и $BN$ имеют заданные длины. Сторона $AC = AN + NC = 2NC = 2 \cdot (\frac{1}{2}AC_{заданная}) = AC_{заданная}$, то есть также имеет заданную длину. Отрезок $BN$ является медианой, так как соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$.

Построение возможно, если для сторон треугольника $BNC$ (то есть для отрезков с длинами $BC$, $BN$ и $\frac{1}{2}AC$) выполняется неравенство треугольника. То есть, сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится путем построения сначала треугольника $BNC$ по трем сторонам (стороне $BC$, медиане $BN$ и половине стороны $AC$), а затем достраивается до полного треугольника $ABC$ путем нахождения вершины $A$ на продолжении отрезка $CN$ за точку $N$ на расстояние, равное $NC$.