Номер 5.22, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. В треугольнике $ABC$ высота $AA_1$ не меньше стороны $\text{BC}$, а высота $BB_1$ не меньше стороны $\text{AC}$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный и прямоугольный.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a=BC$ и $b=AC$. Пусть $h_a = AA_1$ — высота, опущенная на сторону $BC$, а $h_b = BB_1$ — высота, опущенная на сторону $AC$.

Согласно условию задачи, мы имеем два неравенства:

1) $h_a \ge a$

2) $h_b \ge b$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$, образованный высотой $AA_1$, стороной $AC$ и отрезком $A_1C$. В любом прямоугольном треугольнике катет не может быть длиннее гипотенузы. В данном случае $h_a$ является катетом, а $b$ — гипотенузой. Следовательно, должно выполняться неравенство $h_a \le b$.

Аналогично, для прямоугольного треугольника $BB_1C$ катет $h_b$ не может быть длиннее гипотенузы $a$. Таким образом, $h_b \le a$.

Соберем все неравенства вместе:

$h_a \ge a$ (из условия)

$h_b \ge b$ (из условия)

$h_a \le b$ (из свойства высоты)

$h_b \le a$ (из свойства высоты)

Из первого и третьего неравенств получаем: $a \le h_a \le b$, что означает $a \le b$.

Из второго и четвертого неравенств получаем: $b \le h_b \le a$, что означает $b \le a$.

Неравенства $a \le b$ и $b \le a$ могут быть истинными одновременно только в случае равенства: $a = b$. Это доказывает, что стороны $BC$ и $AC$ равны, а значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Если $a = b$, то все предыдущие неравенства превращаются в равенства. В частности, $h_a = b$ и $h_b = a$. Рассмотрим равенство $h_a = b$. Как мы установили, $h_a$ — это катет, а $b$ — гипотенуза в прямоугольном треугольнике $AA_1C$. Равенство катета и гипотенузы возможно только тогда, когда второй катет ($A_1C$) равен нулю. Это означает, что точка $A_1$ (основание высоты) совпадает с вершиной $C$.

Если основание высоты из вершины $A$ на прямую $BC$ совпадает с точкой $C$, это означает, что сама сторона $AC$ является перпендикуляром к стороне $BC$. Следовательно, угол между сторонами $AC$ и $BC$, то есть $\angle C$, является прямым ($\angle C = 90^\circ$).

Это доказывает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Таким образом, мы доказали, что треугольник $ABC$ является одновременно равнобедренным и прямоугольным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным, что и требовалось доказать.