Номер 5.15, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ и отрезок $PQ$, концы которого лежат на разных сторонах этого треугольника. Обозначим длины сторон треугольника как $a=BC$, $b=AC$ и $c=AB$. Пусть $L = \max(a, b, c)$ — длина наибольшей стороны треугольника. Требуется доказать, что длина отрезка $PQ$ не превышает $L$, то есть $|PQ| \le L$.

Любые две различные стороны треугольника имеют общую вершину. Без ограничения общности, предположим, что концы отрезка $PQ$ лежат на сторонах $AC$ и $BC$, которые имеют общую вершину $C$. Итак, точка $P$ лежит на отрезке $AC$, а точка $Q$ — на отрезке $BC$.

Найдем максимально возможное значение длины отрезка $PQ$. Для этого зафиксируем положение точки $P$ на отрезке $AC$ и рассмотрим, при каком положении точки $Q$ на отрезке $BC$ расстояние $|PQ|$ будет максимальным. Расстояние от фиксированной точки ($P$) до точек отрезка ($BC$) достигает своего максимума на одном из концов этого отрезка. Следовательно, точка $Q$ должна совпадать либо с $B$, либо с $C$.

Таким образом, для любого положения точки $P$ на стороне $AC$ справедливо неравенство:

$|PQ| \le \max(|PB|, |PC|)$

Это неравенство верно для любой точки $P$ на $AC$. Значит, максимальная длина отрезка $PQ$ не может быть больше, чем максимальное значение величины $\max(|PB|, |PC|)$, когда $P$ пробегает весь отрезок $AC$. То есть:

$\max_{P \in AC, Q \in BC} |PQ| = \max_{P \in AC} (\max(|PB|, |PC|))$

Теперь найдем максимальные значения длин отрезков $PB$ и $PC$, когда точка $P$ перемещается по отрезку $AC$:

1. Длина отрезка $PC$: Расстояние от $P$ до $C$ максимально, когда точка $P$ наиболее удалена от $C$ на отрезке $AC$. Это происходит, когда $P$ совпадает с $A$. Таким образом, $\max_{P \in AC} |PC| = |AC| = b$.

2. Длина отрезка $PB$: Расстояние от точки $B$ до отрезка $AC$ также достигает своего максимума на одном из концов отрезка $AC$. То есть, $P$ должно совпадать либо с $A$, либо с $C$. Таким образом, $\max_{P \in AC} |PB| = \max(|BA|, |BC|) = \max(c, a)$.

Объединяя эти результаты, мы находим максимально возможную длину отрезка $PQ$:

$\max |PQ| = \max \left( \max_{P \in AC} |PC|, \max_{P \in AC} |PB| \right) = \max(|AC|, \max(|AB|, |BC|)) = \max(b, \max(c, a)) = \max(a, b, c)$.

Таким образом, максимальная длина отрезка с концами на сторонах $AC$ и $BC$ равна длине наибольшей из сторон треугольника $ABC$. Следовательно, для любого такого отрезка $PQ$ выполняется неравенство $|PQ| \le \max(a,b,c)$.

Этот вывод не зависит от выбора пары сторон, так как рассуждения полностью симметричны для любой другой пары сторон (например, $AB$ и $BC$, или $AB$ и $AC$).

Следовательно, любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.