Номер 5.20, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($ \angle C = 90^\circ $). Обозначим его острые углы $ \angle A = \alpha $ и $ \angle B = \beta $. Известно, что $ \alpha + \beta = 90^\circ $. По условию, катеты не равны ($AC \neq BC$), следовательно, и углы при гипотенузе не равны ($ \alpha \neq \beta $).

Проведем из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$ высоту $CH$, биссектрису $CL$ и медиану $CM$. Требуется доказать, что $CL$ делит угол $HCM$ пополам, то есть что $ \angle HCL = \angle MCL $.

Для доказательства выразим искомые углы через $ \alpha $ и $ \beta $. В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($CH \perp AB$) угол $ \angle ACH = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - \alpha $. Поскольку $ \alpha + \beta = 90^\circ $, то $ \angle ACH = \beta $.

Медиана $CM$, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна ее половине: $CM = AM = BM$. Следовательно, треугольник $AMC$ является равнобедренным, и углы при его основании равны: $ \angle ACM = \angle CAM = \alpha $.

Биссектриса $CL$ делит прямой угол $C$ пополам, поэтому $ \angle ACL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

Теперь найдем углы $ \angle HCL $ и $ \angle MCL $. Без ограничения общности, предположим, что $ \alpha > \beta $. Из соотношения $ \alpha + \beta = 90^\circ $ следует, что $ \alpha > 45^\circ $ и $ \beta < 45^\circ $. Мы имеем $ \angle ACH = \beta $, $ \angle ACL = 45^\circ $ и $ \angle ACM = \alpha $. Так как $ \beta < 45^\circ < \alpha $, то биссектриса $CL$ проходит между высотой $CH$ и медианой $CM$.

Следовательно, угол между высотой и биссектрисой равен: $ \angle HCL = \angle ACL - \angle ACH = 45^\circ - \beta $.

Угол между медианой и биссектрисой равен: $ \angle MCL = \angle ACM - \angle ACL = \alpha - 45^\circ $.

Сравним полученные углы. Мы знаем, что $ \beta = 90^\circ - \alpha $. Подставим это выражение в формулу для $ \angle HCL $: $ \angle HCL = 45^\circ - (90^\circ - \alpha) = 45^\circ - 90^\circ + \alpha = \alpha - 45^\circ $.

Таким образом, мы получили, что $ \angle HCL = \alpha - 45^\circ $ и $ \angle MCL = \alpha - 45^\circ $. Отсюда следует, что $ \angle HCL = \angle MCL $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины.