Номер 5.23, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23*. Постройте треугольник, если даны одна его сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Задача решается методом вспомогательного треугольника.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ уже построен. Нам даны сторона $BC$, угол $\angle B$, прилежащий к ней, и сумма двух других сторон $AB + AC$. Обозначим длину стороны $BC$ как $a$, величину угла $\angle B$ как $\alpha$ и сумму длин $AB + AC$ как $s$.

Чтобы использовать данную сумму $s$, отложим на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ отрезок $AD$, равный по длине стороне $AC$. В этом случае отрезок $BD$ будет равен сумме $AB + AD = AB + AC = s$.

Рассмотрим получившийся треугольник $ADC$. Так как по построению $AD = AC$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $DC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle ADC = \angle ACD$.

Важным свойством равнобедренного треугольника является то, что его вершина (в данном случае $A$) равноудалена от концов основания ($D$ и $C$). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, вершина $A$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $DC$.

Таким образом, искомая вершина $A$ является пересечением двух линий:

1. Луча, выходящего из точки $B$ под углом $\alpha$ к отрезку $BC$.
2. Серединного перпендикуляра к отрезку $DC$.

Этот анализ дает нам четкий план построения.

Построение

Пусть нам даны три элемента: отрезок длиной $a$, угол $\alpha$ и отрезок длиной $s$.

1. Построим отрезок $BC$ длиной $a$.
2. От луча $BC$ в заданной полуплоскости отложим угол, равный $\alpha$. Обозначим полученный луч как $BM$.
3. На луче $BM$ от точки $B$ отложим отрезок $BD$, равный по длине $s$.
4. Соединим точки $D$ и $C$ отрезком.
5. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $DC$.
6. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра и отрезка $BD$ и будет искомой вершиной $A$.
7. Соединим точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• Сторона $BC$ равна $a$ по построению.
• Угол $\angle ABC$ (он же $\angle CBM$) равен $\alpha$ по построению.
• Осталось доказать, что $AB + AC = s$.

По построению, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $DC$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $AD = AC$.

Точка $A$ также лежит на отрезке $BD$. Для длин отрезков справедливо равенство $BD = AB + AD$.

По построению, длина отрезка $BD$ равна $s$.

Подставим известные нам равенства: $s = BD = AB + AD$. Заменив $AD$ на равное ему $AC$, получаем $s = AB + AC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет все заданные элементы. Доказательство завершено.

Исследование

Для того чтобы построение было возможным и приводило к единственному решению, необходимо выполнение некоторых условий.

1. Для существования любого треугольника $ABC$ должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых его сторон должна быть больше третьей стороны. В нашем случае это означает $AB + AC > BC$, то есть $s > a$. Если $s \le a$, то построение невозможно.

2. Угол $\alpha$ должен быть в пределах $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Если условия $s > a$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ выполнены, то точки $B, C, D$ образуют треугольник $BDC$. В этом треугольнике сторона $BD = s$ больше стороны $BC = a$. Следовательно, угол, лежащий напротив большей стороны, больше угла, лежащего напротив меньшей: $\angle BCD > \angle BDC$. Это гарантирует, что серединный перпендикуляр к $DC$ пересечет луч $BD$ в точке $A$, лежащей между $B$ и $D$. Пересечение будет единственным.

Следовательно, при $s > a$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ задача имеет единственное решение.

Ответ:

Алгоритм построения искомого треугольника следующий:

1. Построить отрезок $BC$ заданной длины.
2. От луча $BC$ отложить угол $\angle CBM$, равный данному.
3. На луче $BM$ отложить отрезок $BD$, равный данной сумме двух других сторон.
4. Соединить точки $D$ и $C$.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $DC$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра и отрезка $BD$ является третьей вершиной $A$ искомого треугольника.
7. Соединить точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.