Номер 5.29, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.29. На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Построение точки

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям: 1) лежать на данной окружности; 2) быть равноудаленной от двух данных пересекающихся прямых.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных при пересечении исходных прямых. Обозначим данные прямые $l_1$ и $l_2$, а их биссектрисы — $b_1$ и $b_2$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения данной окружности с двумя прямыми — биссектрисами $b_1$ и $b_2$.

Порядок построения:

1. Строим биссектрисы углов, образованных данными прямыми $l_1$ и $l_2$. Получаем две взаимно перпендикулярные прямые $b_1$ и $b_2$.
2. Находим точки, в которых построенные прямые $b_1$ и $b_2$ пересекают данную окружность.

Все найденные точки пересечения являются искомыми.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности с биссектрисами углов, образованных данными пересекающимися прямыми.

Количество решений

Количество решений задачи равно общему числу точек пересечения данной окружности с двумя прямыми-биссектрисами ($b_1$ и $b_2$).

Одна прямая и окружность могут иметь 0, 1 (если прямая касается окружности) или 2 общие точки. Поскольку у нас две различные прямые ($b_1$ и $b_2$), общее количество решений является суммой числа точек пересечения окружности с каждой из этих прямых.

Возможны следующие случаи:

• 0 решений: окружность не пересекает ни одну из биссектрис.
• 1 решение: окружность касается одной из биссектрис, но не пересекает вторую.
• 2 решения: окружность либо пересекает одну биссектрису в двух точках, а вторую не пересекает, либо касается обеих биссектрис.
• 3 решения: окружность пересекает одну биссектрису в двух точках и касается второй.
• 4 решения: окружность пересекает обе биссектрисы, каждую в двух точках.

Максимальное число решений равно 4, так как каждая из двух прямых может пересечь окружность не более чем в двух точках ($2 + 2 = 4$).

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.