Номер 5.28, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.28. Постройте прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, если даны острый угол $\angle B$ и биссектриса $\text{BD}$.

Поскольку в условии не указано, какой из углов, кроме данного острого угла $B$, является прямым, задача имеет два возможных решения. Прямым может быть угол при вершине $A$ или при вершине $C$. Рассмотрим оба случая.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle C=90^\circ$, задан острый угол $B$ и длина биссектрисы $BD$. Поскольку $BD$ — биссектриса угла $B$, то $\angle DBC = \frac{\angle B}{2}$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Он прямоугольный, так как $\angle C = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна длина гипотенузы $BD$ и острый угол $\angle DBC = \frac{\angle B}{2}$. Прямоугольный треугольник можно построить по гипотенузе и острому углу. Построив треугольник $BCD$, мы определим положение вершин $B$, $C$ и точки $D$. Вершина $A$ лежит на прямой, проходящей через точки $C$ и $D$. Также вершина $A$ лежит на луче $BA$, который образует с лучом $BC$ угол $B$. Таким образом, $A$ — это точка пересечения прямой $CD$ и луча $BA$, который можно построить, зная положение $B$ и биссектрисы $BD$.

Построение

1. Построим угол, равный $\frac{\angle B}{2}$. Для этого с помощью циркуля и линейки построим биссектрису данного угла $B$.
2. Построим вспомогательный прямоугольный треугольник $BCD$. Для этого:
   1. Построим отрезок $BD$ заданной длины.
   2. Найдем середину отрезка $BD$ и построим окружность, для которой $BD$ является диаметром.
   3. Построим угол, равный $90^\circ - \frac{\angle B}{2}$. Для этого можно построить прямой угол и вычесть из него угол $\frac{\angle B}{2}$.
   4. В точке $D$ построим луч $DX$ так, чтобы угол $\angle BDX$ был равен $90^\circ - \frac{\angle B}{2}$ и лежал внутри полуплоскости, где будет находиться треугольник.
   5. Точка $C$ — это точка пересечения луча $DX$ и построенной окружности.
3. Соединим точки $B$ и $C$. Мы получили треугольник $BCD$.
4. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
5. Построим луч $BA$ так, чтобы $\angle ABD = \angle DBC$ (то есть, равен $\frac{\angle B}{2}$), и лучи $BA$ и $BC$ лежали по разные стороны от прямой $BD$.
6. Точка $A$ есть пересечение прямой $CD$ и луча $BA$.
7. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ точка $C$ лежит на окружности с диаметром $BD$, следовательно, $\angle BCD = 90^\circ$. Точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой по построению. Угол $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle B}{2} = \angle B$. Биссектриса $BD$ имеет заданную длину по построению. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$, имеет заданный угол $B$ и биссектрису $BD$ заданной длины.

Исследование

Построение всегда возможно, если $\angle B$ — острый. Луч $DX$ и окружность всегда пересекутся, так как угол $\angle BDX$ острый. Прямая $CD$ и луч $BA$ не будут параллельны, так как $\angle BDC = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$, а $\angle ABD$ (как накрест лежащий при параллельных прямых $CD$ и $BA$ и секущей $BD$) равен $\frac{\angle B}{2}$. Равенство $90^\circ - \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle B}{2}$ выполняется только при $\angle B = 90^\circ$, что противоречит условию. Следовательно, прямые пересекутся, и задача всегда имеет единственное решение для данного случая.

Ответ: Треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ построен согласно описанному алгоритму.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle A=90^\circ$, задан острый угол $B$ и длина биссектрисы $BD$. Поскольку $BD$ — биссектриса, то $\angle ABD = \frac{\angle B}{2}$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Он прямоугольный ($\angle A=90^\circ$), и в нем известна гипотенуза $BD$ и острый угол $\angle ABD = \frac{\angle B}{2}$. Такой треугольник можно построить. Определив положение вершин $A$, $B$ и точки $D$, найдем вершину $C$. Она лежит на пересечении прямой $AD$ и луча $BC$, который образует с лучом $BA$ угол $B$.

Построение

1. Построим угол, равный $\frac{\angle B}{2}$, разделив данный угол $B$ пополам.
2. Построим прямоугольный треугольник $ABD$. Для этого:
   1. Построим отрезок $BD$ заданной длины.
   2. Построим окружность, для которой $BD$ является диаметром.
   3. В точке $B$ построим луч $BX$ так, чтобы $\angle DBX = \frac{\angle B}{2}$.
   4. Точка $A$ — это точка пересечения луча $BX$ и построенной окружности.
3. Соединим точки $A$ и $D$. Мы получили треугольник $ABD$.
4. Проведем прямую через точки $A$ и $D$.
5. Построим луч $BC$ так, чтобы $\angle DBC = \angle ABD$ (то есть, равен $\frac{\angle B}{2}$), и лучи $BC$ и $BA$ лежали по разные стороны от прямой $BD$.
6. Точка $C$ есть пересечение прямой $AD$ и луча $BC$.
7. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ точка $A$ лежит на окружности с диаметром $BD$, следовательно, $\angle BAD = 90^\circ$. По построению $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle B}{2} = \angle B$, и $BD$ является биссектрисой этого угла и имеет заданную длину. Точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение всегда возможно, если $\angle B$ — острый. Луч $BX$ и окружность всегда будут иметь точку пересечения, отличную от $B$, так как $\angle DBX$ — острый. Прямая $AD$ и луч $BC$ не будут параллельны, так как $\angle ADB = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$, а $\angle DBC = \frac{\angle B}{2}$. Они не равны, пока $\angle B$ острый. Следовательно, прямые пересекутся, и задача в этом случае также всегда имеет единственное решение.

Ответ: Треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ построен согласно описанному алгоритму.