Номер 5.25, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.25*. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Для построения искомого треугольника воспользуемся методом вспомогательного параллелограмма.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник ABC построен. Пусть AC = $b$, BC = $a$ и CM = $m_c$ — медиана, проведенная к стороне AB. Продлим медиану CM за точку M на ее длину, так чтобы CM = MD. Таким образом, отрезок CD будет иметь длину $2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник ADBC. Его диагонали AB и CD пересекаются в точке M. По определению медианы, M — середина стороны AB. По нашему построению, M — середина отрезка CD. Поскольку диагонали четырехугольника ADBC точкой пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, AD = BC = $a$.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Его стороны нам известны: AC = $b$, AD = $a$, CD = $2m_c$. Мы можем построить этот треугольник по трем сторонам. Построив его, мы найдем вершины A и C искомого треугольника, а также точку D. Так как M — середина CD, мы можем найти точку M. Зная положение точек A и M, мы можем найти вершину B, так как M является серединой AB (точка B симметрична точке A относительно точки M).

Построение

1. Строим отрезок CD длиной $2m_c$. Для этого можно отложить на прямой два раза подряд отрезок, равный $m_c$. Отметим середину этого отрезка — точку M.
2. Строим треугольник ACD по трем сторонам: CD = $2m_c$, AC = $b$, AD = $a$. Для этого:
   • Проводим окружность с центром в точке C и радиусом $b$.
   • Проводим окружность с центром в точке D и радиусом $a$.
   • Точка пересечения этих окружностей будет вершиной A.
3. Соединяем точки A и M и проводим луч AM.
4. На луче AM за точкой M откладываем отрезок MB, равный отрезку AM.
5. Соединяем точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике ABC сторона AC равна $b$ по построению. Рассмотрим четырехугольник ADBC. По построению, точка M является серединой отрезка CD. Также, по построению (шаг 4), M является серединой отрезка AB. Следовательно, ADBC — параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

По свойству параллелограмма, BC = AD. А отрезок AD мы строили равным $a$. Значит, BC = $a$.

Отрезок CM соединяет вершину C с серединой стороны AB, значит CM — медиана треугольника ABC. Длина CM равна половине длины CD, а CD мы строили равным $2m_c$. Следовательно, CM = $m_c$.

Таким образом, построенный треугольник ABC имеет две стороны, равные $a$ и $b$, и медиану к третьей стороне, равную $m_c$. Построение верно.

Исследование

Задача сводится к построению треугольника ACD по трем сторонам: $a$, $b$ и $2m_c$. Такое построение возможно тогда и только тогда, когда для этих трех отрезков выполняется неравенство треугольника, то есть когда длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон:

$a + b > 2m_c$

$a + 2m_c > b$

$b + 2m_c > a$

Если эти условия выполнены, то треугольник ACD строится однозначно, а значит, и искомый треугольник ABC также строится однозначно (с точностью до симметрии относительно прямой CD, что дает тот же самый треугольник). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то построение невозможно.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить искомый треугольник. Задача имеет единственное решение, если отрезки с длинами $a$, $b$ и $2m_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника.