Номер 5.19, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.19. Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника, проведенной из вершины, лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из той же вершины.

Рассмотрим неравнобедренный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$, биссектрису $BL$ и медиану $BM$ на сторону $AC$. Точки $H$, $L$, $M$ являются основаниями высоты, биссектрисы и медианы соответственно на стороне $AC$.

Поскольку треугольник $ABC$ неравнобедренный, то длины сторон, прилежащих к вершине $B$, не равны. Обозначим длины сторон $AB=c$ и $BC=a$. Без ограничения общности предположим, что $c > a$.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому из неравенства $c > a$ следует, что $\angle C > \angle A$.

Наша цель — доказать, что точка $L$ лежит между точками $H$ и $M$. Для этого сравним положение точек $H$, $L$ и $M$ на прямой $AC$ относительно вершины $A$.

1. Сравнение положений медианы и биссектрисы (точек $M$ и $L$)

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $ \frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} $ Поскольку мы предположили, что $c > a$, то $\frac{c}{a} > 1$, и следовательно, $AL > LC$. Точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{AL+LC}{2}$. Так как $AL > LC$, то $AL > \frac{AL+LC}{2}$, то есть $AL > AM$. Это означает, что точка $M$ лежит между точками $A$ и $L$. Порядок точек на прямой: $A, M, L$.

2. Сравнение положений высоты и биссектрисы (точек $H$ и $L$)

Сравним углы $\angle ABH$ и $\angle ABL$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем $\angle ABH = 90^\circ - \angle A$. Биссектриса $BL$ делит угол $\angle ABC$ пополам, поэтому $\angle ABL = \frac{1}{2}\angle B$. Учитывая, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, получаем: $ \angle ABL = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2} $ Сравним величины $\angle A$ и $\frac{\angle A + \angle C}{2}$. Так как $\angle C > \angle A$, то $\angle A + \angle C > \angle A + \angle A = 2\angle A$, откуда $\frac{\angle A + \angle C}{2} > \angle A$. Из этого следует, что $90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2} < 90^\circ - \angle A$. Таким образом, $\angle ABL < \angle ABH$. Так как лучи $BL$ и $BH$ выходят из одной вершины $B$ и лежат по одну сторону от луча $BA$, меньший угол означает, что луч $BL$ лежит между лучами $BA$ и $BH$. Следовательно, точка $L$ на стороне $AC$ лежит между точками $A$ и $H$. Порядок точек на прямой: $A, L, H$. Отсюда $AL < AH$.

3. Итоговое заключение

Из пункта 1 мы получили, что $AM < AL$. Из пункта 2 мы получили, что $AL < AH$. Объединяя эти два неравенства, получаем: $AM < AL < AH$. Это означает, что на прямой $AC$ точки расположены в следующем порядке: $A, M, L, H$. Следовательно, основание биссектрисы $L$ лежит между основанием медианы $M$ и основанием высоты $H$.

Если бы мы изначально предположили, что $c < a$, то все неравенства изменились бы на противоположные: 1. $c < a \implies AL < LC \implies AL < AM$. 2. $c < a \implies \angle C < \angle A \implies \angle ABL > \angle ABH \implies AL > AH$. В этом случае мы получили бы $AH < AL < AM$, и порядок точек был бы $A, H, L, M$. Основание биссектрисы $L$ снова оказалось бы между основанием высоты $H$ и основанием медианы $M$.

В случае равнобедренного треугольника ($c=a$), высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины $B$, совпадают, то есть точки $H, L, M$ совпадают. Условие задачи исключает этот случай.

Таким образом, в любом неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы, проведенной из вершины, лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из той же вершины.

Ответ: Утверждение доказано. В зависимости от соотношения сторон $AB$ и $BC$, порядок оснований на стороне $AC$ будет либо $H, L, M$, либо $M, L, H$, но в обоих случаях основание биссектрисы $L$ лежит между основанием высоты $H$ и основанием медианы $M$.