Номер 5.12, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.12. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен $60^\circ$, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 17 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB = AC$.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. По условию, один из внешних углов равен $60^\circ$. Следовательно, смежный с ним внутренний угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В равнобедренном треугольнике есть два типа углов: угол при вершине и углы при основании.

Если предположить, что угол при основании равен $120^\circ$, то, поскольку углы при основании равны, второй угол при основании также будет $120^\circ$. Их сумма составит $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$.

Следовательно, $120^\circ$ — это угол при вершине, противолежащей основанию, то есть $\angle BAC = 120^\circ$.

Теперь найдем углы при основании. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle ABC = \angle ACB$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$120^\circ + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\angle ABC = \angle ACB = 30^\circ$.

Далее, в условии сказано, что высота, проведенная к боковой стороне, равна 17 см. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к боковой стороне $AC$. Поскольку угол $\angle BAC = 120^\circ$ является тупым, высота $BH$ будет лежать вне треугольника и пересечет продолжение стороны $AC$ в точке $H$.

Рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник $\triangle BHA$. Угол $\angle BAH$ является смежным с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle BAH = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В этом треугольнике катет $BH = 17$ см (по условию), а гипотенузой является боковая сторона $AB$ исходного треугольника.

Используя синус угла $\angle BAH$, найдем длину гипотенузы $AB$:

$\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$

$\sin(60^\circ) = \frac{17}{AB}$

$AB = \frac{17}{\sin(60^\circ)} = \frac{17}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{34}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь нам нужно найти длину основания $BC$. Проведем высоту $AM$ из вершины $A$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это значит, что $M$ — середина $BC$ (то есть $BC = 2 \cdot BM$), а также $\angle BAM = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$. В нем гипотенуза $AB = \frac{34}{\sqrt{3}}$ см и угол при основании $\angle ABM = 30^\circ$. Найдем катет $BM$:

$\cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB}$

$BM = AB \cdot \cos(30^\circ) = \frac{34}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

Так как $M$ является серединой основания $BC$, его длина равна:

$BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot 17 = 34$ см.

Ответ: 34 см.