Номер 5.7, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. На рисунке 5.3 $AB = BC$, $ED = AE$, $\angle C = 80^\circ$, $\angle DAC = 40^\circ$. Докажите, что прямые $\text{ED}$ и $\text{AC}$ параллельны. Найдите $\angle BED$.

Рис. 5.3

Докажите, что прямые ED и AC параллельны.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию дано, что $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$. Так как по условию $\angle C = 80^\circ$, то $\angle BCA = 80^\circ$, а значит и $\angle BAC = 80^\circ$.

2. Угол $\angle BAC$ состоит из двух углов: $\angle EAD$ (поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AB$) и $\angle DAC$. Таким образом, можно записать: $\angle BAC = \angle EAD + \angle DAC$.

3. Подставим известные значения в это равенство: $80^\circ = \angle EAD + 40^\circ$. Из этого уравнения находим, что $\angle EAD = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$.

4. Рассмотрим $\triangle ADE$. По условию дано, что $ED = AE$, следовательно, $\triangle ADE$ — равнобедренный с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle EDA = \angle EAD$.

5. Так как мы нашли, что $\angle EAD = 40^\circ$, то и $\angle EDA = 40^\circ$.

6. Сравним углы $\angle EDA$ и $\angle DAC$. Мы получили, что $\angle EDA = 40^\circ$ и по условию $\angle DAC = 40^\circ$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $ED$ и $AC$ и секущей $AD$.

7. Согласно признаку параллельности прямых, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Поскольку $\angle EDA = \angle DAC$, то $ED \parallel AC$.

Ответ: Прямые $ED$ и $AC$ параллельны, что и требовалось доказать.

Найдите ∠BED.

1. В $\triangle ABC$ сумма углов равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle ABC$ (или $\angle EBD$):

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

2. Так как мы доказали, что $ED \parallel AC$, рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $BC$. Углы $\angle BDE$ и $\angle BCA$ являются соответственными.

3. При параллельных прямых соответственные углы равны, следовательно, $\angle BDE = \angle BCA = 80^\circ$.

4. Теперь рассмотрим $\triangle BDE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle EBD = 20^\circ$ и $\angle BDE = 80^\circ$.

5. Найдем третий угол, $\angle BED$:

$\angle BED = 180^\circ - (\angle EBD + \angle BDE) = 180^\circ - (20^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Ответ: $\angle BED = 80^\circ$.