Номер 5.6, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.6. $\text{AC}$ и $A_1C_1$ – основания равнобедренных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, точки $\text{K}$ и $K_1$ – середины сторон $\text{BC}$ и $B_1C_1$ соответственно, $AC = A_1C_1$, $AB = A_1B_1$. Докажите, что $\triangle ABK = \triangle A_1B_1K_1$.

Для доказательства равенства треугольников $ΔABK$ и $ΔA_1B_1K_1$ воспользуемся одним из признаков равенства треугольников.

1. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Из определения равнобедренного треугольника следует, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.

2. Аналогично, треугольник $A_1B_1C_1$ является равнобедренным с основанием $A_1C_1$, следовательно, его боковые стороны также равны: $A_1B_1 = B_1C_1$.

3. В условии задачи дано равенство $AB = A_1B_1$. Сопоставив равенства из пунктов 1, 2 и 3, получаем: $AB = BC = A_1B_1 = B_1C_1$. Отсюда следует, что $BC = B_1C_1$.

4. Теперь сравним треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем три пары равных сторон:

- $AB = A_1B_1$ (по условию);

- $AC = A_1C_1$ (по условию);

- $BC = B_1C_1$ (как доказано в п. 3).

Следовательно, $ΔABC = ΔA_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

5. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы при вершинах $B$ и $B_1$: $∠ABC = ∠A_1B_1C_1$.

6. Рассмотрим стороны $BK$ и $B_1K_1$. По условию, $K$ — середина стороны $BC$, значит $BK = \frac{1}{2}BC$. Аналогично, $K_1$ — середина стороны $B_1C_1$, значит $B_1K_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$. Так как мы уже доказали, что $BC = B_1C_1$, то и половины этих сторон равны: $BK = B_1K_1$.

7. Наконец, рассмотрим треугольники $ABK$ и $A_1B_1K_1$ и проверим для них выполнение первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

- $AB = A_1B_1$ (по условию);

- $∠ABK = ∠A_1B_1K_1$ (так как это те же углы, что и $∠ABC$ и $∠A_1B_1C_1$, равенство которых доказано в п. 5);

- $BK = B_1K_1$ (как доказано в п. 6).

Все условия первого признака равенства треугольников выполняются, следовательно, $ΔABK = ΔA_1B_1K_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABK$ и $ΔA_1B_1K_1$ доказано.