Номер 5.5, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.5. 1) На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки $\text{D}$ и $\text{B}$, на другой стороне – $\text{C}$ и $\text{E}$, при этом $AD = AC = 3 \text{ см}$, $AB = AE = 4 \text{ см}$. Докажите, что: а) $BC = DE$; б) $KB = KE$, где $\text{K}$ – точка пересечения отрезков $\text{BC}$ и $\text{ED}$.

2) $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – равнобедренные треугольники с основаниями $\text{AC}$ и $A_1C_1$, точки $\text{K}$ и $K_1$ – середины сторон $\text{BC}$ и $B_1C_1$ соответственно. $AB = A_1B_1$, $AK = A_1K_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

1) а) Докажите, что $BC = DE$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle AED $. По условию задачи имеем:

1. $AB = 4$ см и $AE = 4$ см, следовательно, $AB = AE$.

2. $AC = 3$ см и $AD = 3$ см, следовательно, $AC = AD$.

3. Угол $ \angle A $ является общим для обоих треугольников, то есть $ \angle BAC = \angle EAD $.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ABC \cong \triangle AED $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, таким образом, $BC = ED$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажите, что $KB = KE$, где К — точка пересечения отрезков BC и ED.

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $ \triangle ABC \cong \triangle AED $ следует равенство их соответствующих углов: $ \angle ABC = \angle AED $ и $ \angle ACB = \angle ADE $.

Найдем длины отрезков $DB$ и $CE$. Точки $D$ и $B$ лежат на одной стороне угла, причем $AD < AB$, значит, точка $D$ лежит между $A$ и $B$. Аналогично, точка $C$ лежит между $A$ и $E$.

$DB = AB - AD = 4 - 3 = 1$ см.

$CE = AE - AC = 4 - 3 = 1$ см.

Таким образом, $DB = CE$.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle KDB $ и $ \triangle KCE $.

1. $DB = CE = 1$ см (как показано выше).

2. $ \angle KBD = \angle ABC $ и $ \angle KEC = \angle AED $. Так как $ \angle ABC = \angle AED $, то $ \angle KBD = \angle KEC $.

3. $ \angle DKB $ и $ \angle CKE $ являются вертикальными углами, поэтому $ \angle DKB = \angle CKE $.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) это не подходит. Но так как два угла одного треугольника равны двум углам другого, то и третьи углы равны: $ \angle KDB = \angle KCE $. Таким образом, мы можем использовать признак равенства по стороне и двум прилежащим углам (ASA), если рассмотреть сторону $DB$ и углы $\angle KBD$ и $\angle KDB$. Но мы доказали равенство углов $\angle KBD$ и $\angle KEC$, а также $\angle KDB$ и $\angle KCE$.

Рассмотрим $ \triangle DKB $ и $ \triangle CKE $. У них:

$ \angle KBD = \angle KEC $ (из равенства $ \triangle ABC \cong \triangle AED $).

$ \angle KDB = 180^\circ - \angle ADE $ и $ \angle KCE = 180^\circ - \angle ACB $. Нет, это неверно, т.к. K - точка пересечения.

Вернемся к доказанному. В $ \triangle KDB $ и $ \triangle KCE $:

1. $ \angle KBD = \angle KEC $ (из п. а).

2. $ \angle DKB = \angle CKE $ (вертикальные).

3. $ DB = CE $ (вычислено).

Треугольники $ \triangle KDB $ и $ \triangle KCE $ равны по признаку равенства по стороне и двум углам (AAS, по стороне, углу напротив и углу прилежащему). Следовательно, $ \triangle KDB \cong \triangle KCE $.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, $KB = KE$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) По условию, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — равнобедренные с основаниями $AC$ и $A_1C_1$. Это означает, что $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$.

Также дано, что $AB = A_1B_1$. Из этих равенств следует, что $BC = AB = A_1B_1 = B_1C_1$, то есть $BC = B_1C_1$.

Точки $K$ и $K_1$ — середины сторон $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. Следовательно, $BK = \frac{1}{2}BC$ и $B_1K_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$. Поскольку $BC = B_1C_1$, то и $BK = B_1K_1$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABK $ и $ \triangle A_1B_1K_1 $. В них:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию).

2. $AK = A_1K_1$ (по условию).

3. $BK = B_1K_1$ (как доказано выше).

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ABK \cong \triangle A_1B_1K_1 $.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности, $ \angle ABK = \angle A_1B_1K_1 $.

Угол $ \angle ABK $ — это тот же угол, что и $ \angle ABC $, а $ \angle A_1B_1K_1 $ — тот же, что и $ \angle A_1B_1C_1 $. Таким образом, $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. В них:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию).

2. $BC = B_1C_1$ (как доказано выше).

3. $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $ (как доказано выше).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Ответ: Что и требовалось доказать.