Номер 5.8, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. На рисунке 5.4 $PN = NT$, $\text{PK}$ – биссектриса угла $MPT$, $\angle NPT = 70^\circ$, $\angle PKM = 55^\circ$. Докажите, что прямые $\text{PT}$ и $\text{MK}$ параллельны. Найдите $\angle PKT$.

Рис. 5.4

Докажите, что прямые PT и MK параллельны.

Примечание: условие задачи в исходном виде содержит противоречие. Если принять, что $∠NPT = 70°$, то из равенства сторон $PN = NT$ в треугольнике $PNT$ следует, что $∠NTP = ∠NPT = 70°$. Для параллельности прямых $PT$ и $MK$ (при секущей $NK$) необходимо равенство соответственных углов $∠NTP$ и $∠NKM$. Это означало бы, что $∠NKM$ должен быть равен $70°$. Однако по условию $∠PKM$ (что является тем же углом, что и $∠NKM$) равен $55°$. Так как $70° \ne 55°$, доказать параллельность при таких условиях невозможно.

Наиболее вероятной является опечатка в условии, где вместо $∠NPT = 70°$ должно быть $∠PNT = 70°$. Дальнейшее решение основано на этом исправлении. Условие о том, что $PK$ — биссектриса угла $MPT$, также приводит к противоречию и, по-видимому, является частью ошибки в условии, поэтому оно не используется.

1. Рассмотрим треугольник $PNT$. По условию $PN = NT$, следовательно, треугольник $PNT$ — равнобедренный с основанием $PT$.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠NPT = ∠NTP$.

3. Примем, что $∠PNT = 70°$. Так как сумма углов треугольника равна $180°$, то углы при основании равны:

$∠NPT = ∠NTP = (180° - ∠PNT) / 2 = (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°$.

4. Рассмотрим прямые $PT$ и $MK$ и секущую $NK$. Углы $∠NTP$ и $∠NKM$ являются соответственными.

5. Мы нашли, что $∠NTP = 55°$. По условию задачи дано, что $∠PKM = 55°$. Угол $∠NKM$ — это тот же самый угол, что и $∠PKM$, значит, $∠NKM = 55°$.

6. Поскольку соответственные углы $∠NTP$ и $∠NKM$ равны ($55° = 55°$), то по признаку параллельности прямых, прямые $PT$ и $MK$ параллельны.

Ответ: Прямые $PT$ и $MK$ параллельны, что и требовалось доказать.

Найдите ∠PKT.

1. Мы доказали, что $PT \parallel MK$.

2. Рассмотрим параллельные прямые $PT$ и $MK$ и секущую $PK$. Углы $∠KPT$ и $∠PKM$ являются внутренними накрест лежащими.

3. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны: $∠KPT = ∠PKM$.

4. По условию $∠PKM = 55°$, следовательно, $∠KPT = 55°$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $PKT$. В нем нам известны два угла:

- $∠KPT = 55°$ (как внутренний накрест лежащий с $∠PKM$).

- $∠PTK$ — это тот же угол, что и $∠NTP$. В первой части решения мы нашли, что $∠NTP = 55°$. Значит, $∠PTK = 55°$.

6. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем третий угол $∠PKT$:

$∠PKT = 180° - (∠KPT + ∠PTK) = 180° - (55° + 55°) = 180° - 110° = 70°$.

Ответ: $∠PKT = 70°$.