Номер 5.14, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.14. Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $\text{BC}$ взята точка $\text{N}$, такая, что $\angle NBC = 30^\circ$, $\angle NCB = 10^\circ$, $\angle BAC = 80^\circ$. Найдите $\angle ANC$.

Дано: равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, точка $N$ внутри треугольника.

$AB = AC$

$\angle BAC = 80^\circ$

$\angle NBC = 30^\circ$

$\angle NCB = 10^\circ$

Найти: $\angle ANC$.

Решение:

1. Найдем углы при основании треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то углы при основании равны:

$\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \angle BAC) / 2 = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 100^\circ / 2 = 50^\circ$.

2. Найдем углы $\angle ABN$ и $\angle ACN$.

$\angle ABN = \angle ABC - \angle NBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$.

$\angle ACN = \angle ACB - \angle NCB = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $BNC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle BNC = 180^\circ - \angle NBC - \angle NCB = 180^\circ - 30^\circ - 10^\circ = 140^\circ$.

4. Для нахождения $\angle ANC$ рассмотрим треугольник $ANC$. Нам известен угол $\angle ACN = 40^\circ$. Если мы найдем угол $\angle NAC$, то сможем вычислить и искомый угол $\angle ANC$. Для этого воспользуемся теоремой синусов.

5. Применим теорему синусов для треугольника $BNC$:

$\frac{NC}{\sin(\angle NBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BNC)}$

$\frac{NC}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(140^\circ)}$

$NC = BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)}$

6. Применим теорему синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$\frac{AC}{\sin(50^\circ)} = \frac{BC}{\sin(80^\circ)}$

$AC = BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$

7. Теперь применим теорему синусов для треугольника $ANC$. Обозначим $\angle NAC = x$. Тогда $\angle ANC = 180^\circ - \angle ACN - \angle NAC = 180^\circ - 40^\circ - x = 140^\circ - x$.

$\frac{NC}{\sin(\angle NAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ANC)}$

$\frac{NC}{\sin(x)} = \frac{AC}{\sin(140^\circ - x)}$

8. Подставим в это равенство выражения для $NC$ и $AC$, полученные ранее:

$\frac{BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)}}{\sin(x)} = \frac{BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}}{\sin(140^\circ - x)}$

9. Сократим $BC$ и преобразуем выражение:

$\frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ) \sin(x)} = \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ) \sin(140^\circ - x)}$

$\sin(30^\circ) \sin(80^\circ) \sin(140^\circ - x) = \sin(50^\circ) \sin(140^\circ) \sin(x)$

10. Используем тригонометрические тождества для упрощения:

$\sin(30^\circ) = 0.5$

$\sin(140^\circ) = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin(40^\circ)$

$\sin(80^\circ) = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ)$

$\cos(40^\circ) = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin(50^\circ)$

Подставляем в уравнение:

$0.5 \cdot (2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ)) \cdot \sin(140^\circ - x) = \sin(50^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(x)$

$\sin(40^\circ) \cos(40^\circ) \sin(140^\circ - x) = \sin(50^\circ) \sin(40^\circ) \sin(x)$

Сокращаем $\sin(40^\circ)$, так как $\sin(40^\circ) \neq 0$:

$\cos(40^\circ) \sin(140^\circ - x) = \sin(50^\circ) \sin(x)$

Заменяем $\cos(40^\circ)$ на $\sin(50^\circ)$:

$\sin(50^\circ) \sin(140^\circ - x) = \sin(50^\circ) \sin(x)$

11. Сокращаем $\sin(50^\circ)$, так как $\sin(50^\circ) \neq 0$:

$\sin(140^\circ - x) = \sin(x)$

Это равенство возможно в двух случаях:

1) $140^\circ - x = x + 360^\circ \cdot k$, где $k$ - целое число.

$2x = 140^\circ - 360^\circ \cdot k \implies x = 70^\circ - 180^\circ \cdot k$. Так как $x$ - угол в треугольнике, $0 < x < 180^\circ$. При $k=0$, $x = 70^\circ$.

2) $140^\circ - x = 180^\circ - x + 360^\circ \cdot k$.

$140^\circ = 180^\circ + 360^\circ \cdot k$. Это равенство не имеет решений.

Таким образом, единственное возможное значение для $x$ это $70^\circ$.

$\angle NAC = x = 70^\circ$.

12. Теперь находим искомый угол $\angle ANC$:

$\angle ANC = 180^\circ - \angle ACN - \angle NAC = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$.

Ответ: 70°.