Номер 5.17, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ лежат по разные стороны от прямой $\text{a}$. Перпендикуляры $\text{AP}$ и $\text{BN}$ к прямой $\text{a}$ равны. Отрезки $\text{AB}$ и $\text{PN}$ пересекаются в точке $\text{K}$. Докажите, что точка $\text{K}$ делит каждый из отрезков пополам.

Рассмотрим треугольники $ \triangle APK $ и $ \triangle BNK $. По условию задачи, $AP$ и $BN$ — перпендикуляры к прямой $a$. Так как две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой, то $AP \parallel BN$.

Отрезок $AB$ является секущей для параллельных прямых $AP$ и $BN$. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, следовательно, $ \angle PAB = \angle NBA $. В треугольниках $ \triangle APK $ и $ \triangle BNK $ это углы $ \angle PAK $ и $ \angle NBK $, значит $ \angle PAK = \angle NBK $.

Аналогично, отрезок $PN$ является секущей для параллельных прямых $AP$ и $BN$. Следовательно, накрест лежащие углы $ \angle APN $ и $ \angle BNP $ также равны. В контексте наших треугольников это означает, что $ \angle APK = \angle BNK $.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ \triangle APK $ и $ \triangle BNK $. У них:

1. $AP = BN$ по условию.

2. $ \angle PAK = \angle NBK $ как накрест лежащие углы при $AP \parallel BN$ и секущей $AB$.

3. $ \angle APK = \angle BNK $ как накрест лежащие углы при $AP \parallel BN$ и секущей $PN$.

Таким образом, $ \triangle APK \cong \triangle BNK $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Следовательно, $AK = BK$ и $PK = NK$. Это означает, что точка $K$ является серединой отрезка $AB$ и серединой отрезка $PN$, то есть делит каждый из этих отрезков пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Из доказанного равенства треугольников $ \triangle APK \cong \triangle BNK $ следует, что их соответственные стороны равны: $AK=BK$ и $PK=NK$. Таким образом, точка K делит каждый из отрезков $AB$ и $PN$ пополам.