Номер 5.24, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24*. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.

Пусть нам даны три отрезка, задающие длину стороны $a$, длину высоты $h_a$, проведенной к этой стороне, и длину медианы $m_b$, проведенной к одной из двух других сторон. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, равна $h_a$, а медиана, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, равна $m_b$.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый треугольник. Пусть $BC$ — данная сторона, равная $a$. $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$, т.е. $AH \perp BC$ и $AH = h_a$. $BM$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, т.е. $M$ — середина стороны $AC$, и $BM = m_b$.

Расположим сторону $BC$ на некоторой прямой $l$. Вершина $A$ удалена от прямой $l$ на расстояние $h_a$, следовательно, геометрическое место точек (ГМТ) для вершины $A$ — это прямая $p$, параллельная $l$ и находящаяся на расстоянии $h_a$ от нее (рассмотрим одну из двух таких прямых).

Рассмотрим положение точки $M$ — середины стороны $AC$. Опустим из точек $A$ и $M$ перпендикуляры $AH$ и $MK$ на прямую $l$. Мы имеем $AH = h_a$ и $MK \perp l$. Треугольники $AHC$ и $MKC$ являются прямоугольными и подобными, так как у них общий острый угол при вершине $C$. Поскольку $M$ — середина $AC$, то коэффициент подобия $AC/MC = 2$. Из подобия следует, что $AH/MK = 2$. Отсюда мы можем найти длину отрезка $MK$: $MK = AH / 2 = h_a / 2$.

Это означает, что точка $M$ всегда находится на расстоянии $h_a / 2$ от прямой $BC$. Таким образом, ГМТ для точки $M$ — это прямая $q$, параллельная $BC$ и отстоящая от нее на $h_a / 2$.

С другой стороны, по условию, расстояние от вершины $B$ до точки $M$ равно длине медианы $m_b$. Следовательно, точка $M$ также принадлежит окружности с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

Итак, точка $M$ является точкой пересечения прямой $q$ и окружности с центром в $B$ и радиусом $m_b$. Найдя точку $M$, мы можем однозначно определить положение вершины $A$. Так как $M$ — середина $AC$, то точка $A$ лежит на луче $CM$ на расстоянии $2 \cdot CM$ от точки $C$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$ длиной $a$.

2. Построим отрезок длиной $h_a / 2$. Для этого разделим данный отрезок $h_a$ пополам (стандартное построение с помощью циркуля и линейки).

3. Построим прямую $q$, параллельную прямой $BC$ и находящуюся на расстоянии $h_a / 2$ от нее.

4. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

5. Найдем точки пересечения прямой $q$ и построенной окружности. Если точек пересечения нет, задача не имеет решения. Если они есть, выберем одну из них и обозначим ее $M$.

6. Проведем луч с началом в точке $C$, проходящий через точку $M$.

7. На этом луче от точки $C$ отложим отрезок $CA$, равный удвоенной длине отрезка $CM$. Точка $A$ — искомая вершина.

8. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ по построению. Отрезок $BM$ является медианой, так как точка $M$ по построению является серединой отрезка $AC$. Длина этой медианы $BM$ равна $m_b$, так как точка $M$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $m_b$. Осталось показать, что высота, опущенная из $A$ на $BC$, равна $h_a$. Расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ по построению равно $h_a / 2$. Как показано в анализе, из подобия треугольников $AHC$ и $MKC$ (где $AH$ и $MK$ — перпендикуляры к $BC$) следует, что $AH = 2 \cdot MK$. Таким образом, высота $AH = 2 \cdot (h_a / 2) = h_a$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Решение задачи зависит от количества точек пересечения прямой $q$ и окружности с центром $B$ и радиусом $m_b$. Расстояние от центра окружности (точки $B$) до прямой $q$ равно $h_a / 2$.

Возможны три случая:

- Если $m_b < h_a / 2$ (или $2m_b < h_a$), радиус окружности меньше расстояния до прямой. Окружность и прямая не пересекаются, следовательно, задача не имеет решений.

- Если $m_b = h_a / 2$ (или $2m_b = h_a$), окружность касается прямой в одной точке. Эта точка $M$ единственна, что приводит к единственному решению (одному треугольнику).

- Если $m_b > h_a / 2$ (или $2m_b > h_a$), окружность пересекает прямую в двух различных точках $M_1$ и $M_2$. Каждая из этих точек позволяет построить свой треугольник ($A_1BC$ и $A_2BC$). В общем случае эти два треугольника не являются конгруэнтными. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: План построения: 1. Построить отрезок $BC$ длины $a$. 2. Построить прямую $q$, параллельную $BC$ и отстоящую от нее на расстояние $h_a/2$. 3. Построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$. 4. Найти точку $M$ как пересечение прямой $q$ и окружности. 5. Найти вершину $A$ на луче $CM$ из условия, что $M$ — середина $AC$ (т.е. $CA = 2CM$). Треугольник $ABC$ — искомый. Задача имеет 0, 1 или 2 решения в зависимости от того, выполняется ли соотношение $2m_b < h_a$, $2m_b = h_a$ или $2m_b > h_a$ соответственно.