Номер 5.31, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Дана окружность с центром $\text{O}$ и точка $\text{A}$ вне ее. Проведите через точку $\text{A}$ прямую, пересекающую окружность в точках $\text{B}$ и $\text{C}$ так, чтобы $AB = BC$.

Анализ

Пусть искомая прямая, проходящая через точку $A$, пересекает данную окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$ в точках $B$ и $C$. По условию задачи должно выполняться равенство $AB = BC$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $AC$.

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = 1/2$. При такой гомотетии точка $C$ переходит в точку $B$, так как по определению гомотетии $\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Поскольку точка $C$ лежит на данной окружности $\omega$, ее образ — точка $B$ — должна лежать на образе окружности $\omega$ при гомотетии $H$. Образом окружности $\omega(O, R)$ при гомотетии $H(A, 1/2)$ является окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$.

Центр $O_1$ новой окружности является образом центра $O$ исходной окружности, то есть $O_1$ — это середина отрезка $AO$. Радиус новой окружности $R_1$ равен произведению коэффициента гомотетии на радиус исходной окружности: $R_1 = k \cdot R = R/2$.

Таким образом, искомая точка $B$ должна одновременно принадлежать двум окружностям: исходной $\omega(O, R)$ и построенной $\omega_1(O_1, R/2)$. Точки пересечения этих двух окружностей и позволят построить искомую прямую.

Построение

1. Соединяем точку $A$ и центр окружности $O$ отрезком $AO$.

2. С помощью циркуля и линейки находим точку $O_1$ — середину отрезка $AO$.

3. Определяем радиус $R_1$, равный половине радиуса $R$ данной окружности (например, построив серединный перпендикуляр к любому радиусу).

4. Строим вспомогательную окружность $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1 = R/2$.

5. Находим точку (или точки) $B$ пересечения окружности $\omega_1$ с исходной окружностью $\omega$.

6. Проводим прямую через точку $A$ и найденную точку $B$. Эта прямая является искомой.

Доказательство

Пусть $B$ — одна из точек пересечения окружностей $\omega(O, R)$ и $\omega_1(O_1, R/2)$. Проведем прямую через $A$ и $B$. Эта прямая пересекает окружность $\omega$ в двух точках, одна из которых $B$. Назовем вторую точку пересечения $C$. Нам нужно доказать, что $AB = BC$.

По нашему построению, окружность $\omega_1$ является образом окружности $\omega$ при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $1/2$. Точка $B$ лежит на $\omega_1$. Следовательно, она является образом некоторой точки $C'$ с окружности $\omega$ при этой гомотетии. Из определения гомотетии следует, что $B$ — середина отрезка $AC'$.

Поскольку $B$ — середина $AC'$, точки $A$, $B$ и $C'$ лежат на одной прямой. Точка $C'$ также лежит на окружности $\omega$. Таким образом, точка $C'$ является точкой пересечения прямой $AB$ с окружностью $\omega$. Таких точек две: $B$ и $C$.

Если предположить, что $C' = B$, то $B$ будет серединой отрезка $AB$. Это возможно, только если точки $A$ и $B$ совпадают ($A=B$). Однако по условию точка $A$ находится вне окружности, а точка $B$ — на ней, поэтому $A \neq B$.

Следовательно, точка $C'$ должна совпадать с другой точкой пересечения, то есть $C' = C$. Таким образом, $B$ является серединой отрезка $AC$, а это означает, что $AB = BC$. Доказательство завершено.

Исследование

Число решений задачи определяется количеством точек пересечения окружностей $\omega(O, R)$ и $\omega_1(O_1, R/2)$. Две окружности могут пересекаться в двух точках, касаться (одна точка) или не иметь общих точек.

Условие пересечения (или касания) двух окружностей: расстояние между их центрами $d$ должно быть между модулем разности и суммой их радиусов: $|R_{большей} - R_{меньшей}| \le d \le R_{большей} + R_{меньшей}$.

В нашем случае, $d = OO_1 = \frac{1}{2}AO$. Радиусы окружностей — $R$ и $R_1 = R/2$. Подставляя эти значения в неравенство, получаем:

$R - R/2 \le \frac{1}{2}AO \le R + R/2$

$R/2 \le \frac{1}{2}AO \le \frac{3}{2}R$

Умножим все части двойного неравенства на 2:

$R \le AO \le 3R$

По условию точка $A$ находится вне окружности, что означает $AO > R$. Таким образом, условие существования решения упрощается до $AO \le 3R$.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если $R < AO < 3R$, окружности $\omega$ и $\omega_1$ пересекаются в двух различных точках. Каждая точка определяет одну искомую прямую. Следовательно, задача имеет два решения.

2. Если $AO = 3R$, то $\frac{1}{2}AO = \frac{3}{2}R$, что равно сумме радиусов $R + R/2$. Окружности касаются внешним образом в одной точке. Задача имеет одно решение.

3. Если $AO > 3R$, окружности не имеют общих точек. Задача не имеет решений.

Ответ: Чтобы построить искомую прямую, необходимо: 1) найти середину $O_1$ отрезка $AO$; 2) построить окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R/2$, где $R$ — радиус данной окружности; 3) найти точку пересечения $B$ окружностей $\omega$ и $\omega_1$; 4) провести прямую через точки $A$ и $B$. В зависимости от расстояния $AO$ задача может иметь два, одно или не иметь решений.