Номер 5.26, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.26. Постройте треугольник $ABC$ по стороне $\text{BC}$, медиане $\text{BN}$ и высоте $\text{BH}$.

Задача заключается в построении треугольника по трём известным элементам: длине стороны $BC$, длине медианы $BN$ и длине высоты $BH$, проведенных из одной вершины $B$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. $BH$ — его высота, опущенная из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Это означает, что $BH \perp AC$, и, следовательно, треугольник $BHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. $BN$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, следовательно, точка $N$ является серединой отрезка $AC$. Важно отметить, что точки $A$, $H$, $N$, $C$ лежат на одной прямой (в некотором порядке).

Из анализа следует, что построение можно свести к построению двух прямоугольных треугольников, $BHC$ и $BHN$, у которых известен общий катет $BH$ и гипотенузы $BC$ и $BN$ соответственно. Построив эти треугольники, мы определим положение точек $B$, $H$, $C$ и $N$. Так как точки $H, C, N$ лежат на одной прямой (которая является прямой $AC$), мы сможем найти и вершину $A$, используя свойство медианы ($N$ — середина $AC$).

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $AC$.
2. На прямой $l$ выберем произвольную точку $H$.
3. Через точку $H$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.
4. На прямой $p$ отложим отрезок $BH$, равный заданной высоте. Получим вершину $B$.
5. С центром в точке $B$ проведем окружность $\omega_1$ радиусом, равным длине стороны $BC$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ даст нам вершину $C$. В общем случае будет две точки пересечения, симметричные относительно $H$. Выберем одну из них. (Для существования такой точки необходимо, чтобы $BC > BH$).
6. С центром в точке $B$ проведем окружность $\omega_2$ радиусом, равным длине медианы $BN$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $l$ даст нам положение точки $N$. (Для существования такой точки необходимо, чтобы $BN \geq BH$).
7. Теперь у нас есть точки $C$ и $N$ на прямой $l$. Так как $N$ — середина стороны $AC$, то точка $A$ лежит на прямой $l$ на таком же расстоянии от $N$, что и $C$, но с другой стороны. Чтобы найти $A$, отложим на прямой $l$ от точки $N$ в сторону, противоположную точке $C$, отрезок $NA$, равный отрезку $NC$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению выполнены все условия задачи:

• Длина стороны $BC$ равна заданному отрезку, так как точка $C$ лежит на окружности $\omega_1$ с центром в $B$ и радиусом $BC$.
• Высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$ (прямая $l$), есть отрезок $BH$. Его длина равна заданной высоте, так как точка $B$ была построена на расстоянии $BH$ от прямой $l$.
• Отрезок $BN$ является медианой, так как точка $N$ по построению является серединой отрезка $AC$. Длина $BN$ равна заданной длине медианы, так как точка $N$ лежит на окружности $\omega_2$ с центром в $B$ и радиусом $BN$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Рассмотрим, когда задача имеет решение и сколько решений существует.

• Для построения прямоугольного треугольника $BHC$ необходимо, чтобы гипотенуза была больше катета, то есть $BC > BH$. Если $BC = BH$, то точки $C$ и $H$ совпадают, и треугольник $ABC$ вырождается в отрезок. Если $BC < BH$, построение невозможно.
• Аналогично, для существования точки $N$ на прямой $AC$ необходимо, чтобы $BN \geq BH$. Если $BN < BH$, медиана окажется короче высоты, проведенной из той же вершины, что невозможно.
• Если $BN > BH$, окружность $\omega_2$ пересекает прямую $l$ в двух точках $N_1$ и $N_2$, симметричных относительно $H$. Каждая из этих точек порождает свое решение — треугольники $A_1BC$ и $A_2BC$. Эти треугольники, в общем случае, не равны друг другу. Таким образом, при $BC > BH$ и $BN > BH$ задача имеет два решения.
• Если $BN = BH$, точка $N$ совпадает с $H$. В этом случае прямая $l$ касается окружности $\omega_2$ в точке $H$. Решение будет единственным. Треугольник $ABC$ в этом случае будет равнобедренным с основанием $AC$, так как его высота $BH$ совпадет с медианой $BN$.
• Выбор одной из двух возможных точек для $C$ (симметричных относительно $H$) приводит к построению треугольника, симметричного (и, следовательно, равного) исходному относительно прямой $BH$. Поэтому это не считается отдельным решением.

Следовательно, задача может иметь одно или два решения в зависимости от соотношения длин данных отрезков, либо не иметь решений вовсе.

Ответ: Алгоритм построения описан в разделе Построение. Задача имеет решение при выполнении условий $BC > BH$ и $BN \geq BH$. Если $BN > BH$, существует два различных решения (в общем случае). Если $BN = BH$, существует одно решение.